第六章 定积分及其应用 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ .. contents:: :local: .. _ex-chap6: 课后习题解答 ==================================== .. _ex-chap6-sec1: §6.1 定积分的概念 ------------------------------------ .. _ex-chap6-sec2: §6.2 定积分的性质 ------------------------------------ .. _ex-chap6-sec2-ex7: 7. 已知函数 :math:`f(x)` 在区间 :math:`[0,1]` 上具有 2 阶导数, 且 :math:`f(0) = 0`, :math:`f(1) = 1`, :math:`\displaystyle \int_0^1 f(x) ~ \mathrm{d}x = 1`, 试证明: (1) 存在 :math:`\xi \in (0, 1)`, 使得 :math:`f'(\xi) = 0`; (2) 存在 :math:`\eta \in (0, 1)`, 使得 :math:`f''(\eta) < -2`. .. proof:solution:: (1) 由积分中值定理, 存在 :math:`x_0 \in (0, 1)`, 使得 .. math:: 1 = \int_0^1 f(x) ~ \mathrm{d}x = f(x_0) (1 - 0) = f(x_0). 又由于 :math:`f(1) = 1`, 由罗尔定理, 存在 :math:`\xi \in (x_0, 1) \subset (0, 1)`, 使得 :math:`f'(\xi) = 0`. (2) 令 :math:`g(x) = f(x) + x^2`, 希望证明 :math:`g''(x) = f''(x) + 2 < 0` 在某点成立. 若能证明存在 :math:`x_1 < x_2 \in (0, 1)`, 使得 :math:`g'(x_1) > g'(x_2)`, 则由拉格朗日中值定理, 存在 :math:`\eta \in (x_1, x_2) \subset (0, 1)`, 使得 :math:`g''(\eta) < 0`, 即 :math:`f''(\eta) < -2`. 下证存在这样的 :math:`x_1, x_2`. 对 (1) 中的 :math:`x_0`, 在区间 :math:`[0, x_0]` 以及 :math:`[x_0, 1]` 上分别应用拉格朗日中值定理, 则存在 :math:`x_1 \in (0, x_0)`, :math:`x_2 \in (x_0, 1)`, 使得 .. math:: g'(x_1) & = \frac{g(x_0) - g(0)}{x_0 - 0} = \frac{f(x_0) + x_0^2}{x_0} = \frac{1}{x_0} + x_0, \\ g'(x_2) & = \frac{g(1) - g(x_0)}{1 - x_0} = \frac{2 - (f(x_0) + x_0^2)}{1 - x_0} = \frac{1 - x_0^2}{1 - x_0} = 1 + x_0. 因为 :math:`0 < x_0 < 1`, 所以 :math:`\dfrac{1}{x_0} + x_0 > 1 + x_0`, 即 :math:`g'(x_1) > g'(x_2)`, 证毕. .. _ex-chap6-sec3: §6.3 微积分基本定理 ------------------------------------ .. _ex-chap6-sec4: §6.4 定积分的换元法和分部积分法 ------------------------------------ .. _ex-chap6-sec5: §6.5 广义积分 ------------------------------------ .. _ex-chap6-sec6: §6.6 定积分的几何应用 ------------------------------------ .. _extra-chap6: 补充内容 ==================================== .. _extra-chap6-topic1: 1. 求定积分 :math:`\displaystyle \int_{-1}^1 \dfrac{e^x + e^{-x}}{1 + 3^x} \mathrm{d}x`. .. proof:solution:: .. math:: \int_{-1}^1 \dfrac{e^x + e^{-x}}{1 + 3^x} \mathrm{d}x & = \left(\int_{-1}^0 + \int_0^1 \right) \dfrac{e^x + e^{-x}}{1 + 3^x} \mathrm{d}x \\ & = \int_{1}^0 \dfrac{e^{-x} + e^{x}}{1 + 3^{-x}} \mathrm{d}(-x) + \int_0^1 \dfrac{e^x + e^{-x}}{1 + 3^x} \mathrm{d}x \\ & = \int_0^1 3^x \cdot \dfrac{e^{-x} + e^{x}}{1 + 3^x} \mathrm{d}x + \int_0^1 \dfrac{e^x + e^{-x}}{1 + 3^x} \mathrm{d}x \\ & = \int_0^1 \left( 3^x + 1 \right) \cdot \dfrac{e^{-x} + e^{x}}{1 + 3^x} \mathrm{d}x \\ & = \int_0^1 e^{-x} + e^{x} \mathrm{d}x \\ & = \left. \left( -e^{-x} + e^{x} \right) \right|_0^1 \\ & = e - \dfrac{1}{e}. .. note:: 被积函数 :math:`\dfrac{e^x + e^{-x}}{1 + 3^x}` 分母里的 :math:`3` 替换为任何正实数, 定积分的值都是 :math:`e - \dfrac{1}{e}`. .. _extra-chap6-topic2: 2. 计算定积分 :math:`\displaystyle I = \int_0^2 \dfrac{(x-1)^2 + 1}{(x-1)^2 + x^2(x-2)^2} \mathrm{d}x`. .. proof:solution:: 做变量替换 :math:`t = x - 1`, 则原积分变为 .. math:: :label: eq-extra-chap6-topic2-1 I & = \int_{-1}^1 \dfrac{t^2 + 1}{t^2 + (t+1)^2 (t-1)^2} \mathrm{d}t = \int_{-1}^1 \dfrac{t^2 + 1}{t^2 + (t^2-1)^2} \mathrm{d}t \\ & = \int_{-1}^1 \dfrac{1 + 1/t^2}{1 + (t - 1/t)^2} \mathrm{d}t = \int_{-1}^1 \dfrac{\mathrm{d} \left( t - 1/t \right)}{1 + (t - 1/t)^2}. 令 :math:`u = t - 1/t`. 注意, 此时区间 :math:`t \in [-1, 1]` 应分为 :math:`[-1, 0)` 和 :math:`(0, 1]` 两部分, 这样才是光滑 (处处可导) 的变换. 这两个区间分别对应 :math:`u \in [0, +\infty)` 和 :math:`u \in (-\infty, 0]`. 因此, 原积分可写为 .. math:: I & = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d}u}{1 + u^2} + \int_{-\infty}^{0} \dfrac{\mathrm{d}u}{1 + u^2} \\ & = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d}u}{1 + u^2} + \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d}v}{1 + v^2} \\ & = 2 \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d}u}{1 + u^2} = 2 \left. \arctan u \right|_0^{+\infty} \\ & = 2 \cdot \dfrac{\pi}{2} = \pi. .. note:: 注意在变换过程中, 由于 :math:`t = 0` 时, 被积函数无定义, 因此需要分开积分, 也就是说, 这题 **不能** 直接从 :eq:`eq-extra-chap6-topic2-1` 得 .. math:: I = \left. \arctan \left( t - \dfrac{1}{t} \right) \right|_{-1}^1 = \arctan 0 - \arctan 0 = 0. .. _extra-chap6-topic3: 3. 极坐标下曲线 :math:`r = r(\theta)` 求曲线长公式推导. .. proof:solution:: 由定义, 弧长为折线段长度和的极限, 记 :math:`\mathrm{d} \ell` 为弧长元素 (折线长), 那么 :math:`r(\theta)`, :math:`r(\theta + \mathrm{d} \theta)`, :math:`\mathrm{d} \ell` 三者构成一个三角形, 由余弦定理有 .. math:: (\mathrm{d} \ell)^2 = r^2(\theta) + r^2(\theta + \mathrm{d} \theta) - 2 r(\theta) r(\theta + \mathrm{d} \theta) \cos \mathrm{d} \theta. 假设 :math:`r(\theta)` 在 :math:`[\alpha, \beta]` 上足够光滑 (连续可导), 那么 .. math:: r(\theta + \mathrm{d} \theta) = r(\theta) + r'(\theta) \mathrm{d} \theta + o(\mathrm{d} \theta), 于是有 .. math:: (\mathrm{d} \ell)^2 & = r^2(\theta) + r^2(\theta + \mathrm{d} \theta) - 2 r(\theta) r(\theta + \mathrm{d} \theta) \cos \mathrm{d} \theta \\ & = (r(\theta) - r(\theta + \mathrm{d} \theta))^2 + 2 r(\theta) r(\theta + \mathrm{d} \theta) (1 - \cos \mathrm{d} \theta) \\ & = (r'(\theta) \mathrm{d} \theta + o(\mathrm{d} \theta))^2 + r(\theta) (r(\theta) + r'(\theta) \mathrm{d} \theta + o(\mathrm{d} \theta)) ((\mathrm{d} \theta)^2 + o((\mathrm{d} \theta)^2)) \\ & = (r'(\theta))^2 (\mathrm{d} \theta)^2 + {\color{red} 2 r'(\theta) \mathrm{d} \theta o(\mathrm{d} \theta)} + o((\mathrm{d} \theta)^2) \\ & \phantom{===} + r^2(\theta) (\mathrm{d} \theta)^2 + {\color{red} r^2(\theta) o((\mathrm{d} \theta)^2)} + {\color{red} r(\theta) r'(\theta) (\mathrm{d} \theta)^3} \\ & \phantom{===} + {\color{red} r(\theta) r'(\theta) \mathrm{d} \theta o((\mathrm{d} \theta)^2)} + {\color{red} r(\theta) (\mathrm{d} \theta)^2 o(\mathrm{d} \theta)} + {\color{red} r(\theta) o((\mathrm{d} \theta)^3)} \\ & = (r'(\theta))^2 (\mathrm{d} \theta)^2 + r^2(\theta) (\mathrm{d} \theta)^2 + o((\mathrm{d} \theta)^2) \\ & = (r'(\theta)^2 + r^2(\theta) + o(1)) (\mathrm{d} \theta)^2. 以上倒数第二个等式成立是因为红色的项都是 :math:`(\mathrm{d} \theta)^2` 的高阶无穷小, 第三个等式用到了 :math:`\cos \mathrm{d} \theta` 的麦克劳林展开式 (的变形) .. math:: 2(1 - \cos \mathrm{d} \theta) = (\mathrm{d} \theta)^2 + o((\mathrm{d} \theta)^2), 所以有 .. math:: \mathrm{d} \ell = \sqrt{r'(\theta)^2 + r^2(\theta)} \mathrm{d} \theta. 我们也可以发现, 对于以 :math:`r(\theta)` 为半径, :math:`\mathrm{d} \theta` 为角度的圆弧, 其弧长平方 :math:`r^2(\theta) (\mathrm{d} \theta)^2` 与折线平方的误差为 .. math:: r'(\theta)^2) (\mathrm{d} \theta)^2. 究其原因, 就是因为圆弧, 折线, 以及 :math:`r(\theta + \mathrm{d} \theta)` 相对于 :math:`r(\theta)` 的增量 (或减量) :math:`r'(\theta) \mathrm{d} \theta` 几乎构成了一个以折线为斜边的直角三角形, 从而导致了这个误差.