第三章随堂测验
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.. note::
    此次随堂测验未进行.

1. 求不定积分 :math:`\displaystyle\int \dfrac{\arctan x}{x^2 + 1} \mathrm{d} x`.

2. 求极限 :math:`\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + \sqrt{x}} \mathrm{d} x`.

3. 求函数 :math:`\displaystyle f(x) = \int_1^{x^3} e^{t^2} \mathrm{d} t` 的导数.

4. 求由曲线 :math:`y = \sqrt{x}` 与 :math:`y = x^2` 所围成的图形的面积.

5. 证明 :math:`\displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{(1 + x^2)(1 + x^a)}` 与 :math:`a` 无关.

   提示: 先证明积分收敛, 然后将积分区域分为 :math:`[0, 1]` 和 :math:`[1, +\infty)` 两部分.