第一章随堂测验
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1. 求极限 :math:`\lim\limits_{x \to 0} x \left[ \dfrac{1}{x} \right]`, 其中取整函数的定义为

   .. math::
        [x] = \max \{ n \in \mathbb{Z} | n \leqslant x \} = n \text{ 若 } n \leqslant x < n + 1, n \in \mathbb{Z}

2. 求极限 :math:`\lim\limits_{x \to 1} x^{\frac{1}{1 - x}}`

3. 设 :math:`n \in \mathbb{N}` 为正整数. 当 :math:`x \to 0` 时, :math:`(1 - \cos x) \cdot \ln (1 + x^2)` 是比 :math:`x \cdot \tan x^n` 高阶的无穷小,
   而 :math:`x \cdot \arcsin^n x` 是比 :math:`e^{x^2} - 1` 高阶的无穷小. 求正整数 :math:`n` 的值.

4. 函数 :math:`f(x) = \dfrac{(e^x - e^2) \cos \frac{\pi x}{2}}{\lvert x - 1 \rvert (x - 2)}` 在 :math:`\mathbb{R}` 上是否有间断点?
   若有, 列出所有间断点, 并判断其类型. 若无, 请证明之.

5. 设函数 :math:`f(x)` 在闭区间 :math:`[a, a + 2b]` 上连续, :math:`b > 0`. 证明: 存在 :math:`\xi \in [a, a + b]` 使得

   .. math::
        f(x + b) - f(x) = \frac{1}{2} \left[ f(a + 2b) - f(a) \right]