第 1-4 章随堂测验
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1. 设函数 :math:`f(x) = \ln(\sqrt{x^2 + 1} + x)`, 求它的导函数 :math:`f'(x)`.

2. 设函数 :math:`y = y(x)` 由方程 :math:`e^{x+y} - xy = 1` 确定, 求 :math:`\dfrac{dy}{dx}` 在点 :math:`(0,0)` 处的值.

3. 设 :math:`f(x) = \arctan x`, 请写出 :math:`f(x)` 在 :math:`x = 0` 处带皮亚诺余项的泰勒公式（展开到 :math:`x^3` 项）.

4. 设函数 :math:`f(x)` 在闭区间 :math:`[a, b]` 上连续, 在开区间 :math:`(a, b)` 内可导, 且 :math:`f(a) = f(b) = 0`.
   证明存在 :math:`\xi \in (a, b)` 使得 :math:`f'(\xi) + f(\xi) = 0`.

5. 设函数 :math:`f(x) = x e^{-x}`, 求 :math:`f(x)` 的单调区间, 极值点, 凹凸区间, 拐点及渐近线.