第一章预备知识

第一章预备知识#

这节题目大部分比较简单, 容易错的主要是以下几题:

(3). \(y = \ln(\sqrt{1+x^2}-x)\)

解

计算 \(f(-x) = \ln(\sqrt{1+(-x)^2}-(-x)) = \ln(\sqrt{1+x^2}+x) = \ln\frac{1}{\sqrt{1+x^2}-x} = -\ln(\sqrt{1+x^2}-x) = -f(x)\), 故为奇函数.

这节题目大部分比较简单, 容易错的主要是以下几题:

解

由 \(f(x-2) = e^{x^2} = e^{((x-2)+2)^2} = e^{(x-2)^2 + 4(x-2) + 4}\), 知 \(f(x) = e^{x^2 + 4x + 4}\).

设 \(f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ x^2, & 1 < x \leqslant 2, \end{cases}\) \(g(x) = \ln x\), 求 \(f[g(x)]\).

解

引入中间变量 \(u\), 将题目重写为 \(f(u) = \begin{cases} 2u, & 0 \leqslant u \leqslant 1 \\ u^2, & 1 < u \leqslant 2, \end{cases}\), \(u = g(x) = \ln x\), 那么

\[\begin{split}f[g(x)] = \begin{cases} 2\ln x, & 1 \leqslant x \leqslant e \\ (\ln x)^2, & e < u \leqslant e^2. \end{cases}\end{split}\]

这里关键是定义域要计算清楚.

这节题目大部分比较简单, 容易错的主要是以下几题:

解

将原式变形:

\[f\left( x - \dfrac{1}{x} \right) = x^2 + \dfrac{1}{x^2} = x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 2 + 2 = \left( x - \dfrac{1}{x} \right)^2 + 2,\]

所以 \(f(x) = x^2 + 2\).