第二章随堂测验

1. 设函数 \(f(x) = \ln(\ln(\ln x))\), 求它的导函数 \(f'(x)\).

2. 设有参数方程 \(\begin{cases} x \cos t + x^2 \sin t = 1 \\ y - e^y \sin t = 2 \end{cases}\) , 求 \(\displaystyle \left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{t = 0}\).

3. 设 \(f(x) = e^{3x-x^2}\), 请写出 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处带皮亚诺余项的泰勒公式 (展开到 \((x-1)^3\) 即可)

4. 设函数 \(f(x)\) 是开区间 \(I = (a_0, b_0)\) 上的函数且处处可导. 设闭区间 \([a, b] \subset I\) 包含于该开区间, 即 \(a_0 < a < b < b_0\). 请证明 \(f(x)\) 的导函数 \(f'(x)\) (注意, 导函数未必连续), 在闭区间 \([a, b]\) 上可取遍 \(f'(a)\) 与 \(f'(b)\) 之间的所有值.

5. 设 \(\displaystyle f(x) = \lvert x + 2 \rvert e^{-\frac{1}{x}}\), 求 \(f(x)\) 的单调区间, 极值点, 凹凸区间, 拐点, 渐近线.