第二章随堂测验#
设函数 \(f(x) = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}\), 求它的导函数 \(f'(x)\).
设函数 \(f(x)\) 可微且函数值大于 \(0\). 令 \(g(x) = \ln f(\sin^2 x)\), 求函数 \(g(x)\) 的微分.
令 \(y(t) = \left( \dfrac{1}{t + 1} \right)^{\frac{1}{t}}\).
(1). 求 \(\lim\limits_{t \to 0} y(t)\) 以及 \(\lim\limits_{t \to 0} y'(t)\).
(2). 求极限 \(\lim\limits_{x \to \infty} x \left( \dfrac{1}{e} - \left( \dfrac{x}{x + 1} \right)^x \right)\).
提示: 利用带佩亚诺型余项的麦克劳林公式
\[\begin{split}& \dfrac{1}{1 - t} = 1 + t + t^2 + o(t^2), \\ & \ln (1 + t) = t - \dfrac{t^2}{2} + o(t^2).\end{split}\]设 \(0 < a < b\), 证明存在 \(\xi \in (a, b)\), 使得
\[a e^b - b e^a = (a - b) (1 - \xi)e^\xi.\]提示: 两边同时除以 \(ab\), 构造辅助函数, 并在区间 \(\left[ \dfrac{1}{b}, \dfrac{1}{a} \right]\) 上利用拉格朗日中值定理.
求函数 \(y = x^{1/x}, x > 0\) 的极大值.