第一章随堂测验#
求极限 \(\lim\limits_{x \to 0} x \left[ \dfrac{1}{x} \right]\), 其中取整函数的定义为
\[[x] = \max \{ n \in \mathbb{Z} | n \leqslant x \} = n \text{ 若 } n \leqslant x < n + 1, n \in \mathbb{Z}\]求极限 \(\lim\limits_{x \to 1} x^{\frac{1}{1 - x}}\)
设 \(n \in \mathbb{N}\) 为正整数. 当 \(x \to 0\) 时, \((1 - \cos x) \cdot \ln (1 + x^2)\) 是比 \(x \cdot \tan x^n\) 高阶的无穷小, 而 \(x \cdot \arcsin^n x\) 是比 \(e^{x^2} - 1\) 高阶的无穷小. 求正整数 \(n\) 的值.
函数 \(f(x) = \dfrac{(e^x - e^2) \cos \frac{\pi x}{2}}{\lvert x - 1 \rvert (x - 2)}\) 在 \(\mathbb{R}\) 上是否有间断点? 若有, 列出所有间断点, 并判断其类型. 若无, 请证明之.
设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, a + 2b]\) 上连续, \(b > 0\). 证明: 存在 \(\xi \in [a, a + b]\) 使得
\[f(x + b) - f(x) = \frac{1}{2} \left[ f(a + 2b) - f(a) \right]\]