第 1-4 章随堂测验答案解析

1. 设函数 \(f(x) = \ln(\sqrt{x^2 + 1} + x)\), 求它的导函数 \(f'(x)\).

解

由复合函数求导的链式法则可得

\[f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} \cdot \left( \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} + 1 \right)\]

化简得

\[f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\]

2. 设函数 \(y = y(x)\) 由方程 \(e^{x+y} - xy = 1\) 确定, 求 \(\dfrac{dy}{dx}\) 在点 \((0,0)\) 处的值.

解

对方程两边关于 \(x\) 求导，得

\[e^{x+y} \cdot \left(1 + \dfrac{dy}{dx}\right) - \left(y + x\dfrac{dy}{dx}\right) = 0\]

代入点 \((0,0)\)，得

\[e^0 \cdot \left(1 + \dfrac{dy}{dx}\right) - (0 + 0) = 0\]

解得

\[\left. \dfrac{dy}{dx} \right|_{(0,0)} = -1\]

3. 设 \(f(x) = \arctan x\), 请写出 \(f(x)\) 在 \(x = 0\) 处带皮亚诺余项的泰勒公式（展开到 \(x^3\) 项）.

解

计算各阶导数：

\[\begin{split}f(x) &= \arctan x, & f(0) &= 0 \\ f'(x) &= \dfrac{1}{1+x^2}, & f'(0) &= 1 \\ f''(x) &= -\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}, & f''(0) &= 0 \\ f'''(x) &= \dfrac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}, & f'''(0) &= -2\end{split}\]

因此泰勒公式为

\[\arctan x = x - \dfrac{1}{3}x^3 + o(x^3)\]

4. 设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续, 在开区间 \((a, b)\) 内可导, 且 \(f(a) = f(b) = 0\). 证明存在 \(\xi \in (a, b)\) 使得 \(f'(\xi) + f(\xi) = 0\).

证明

构造辅助函数 \(F(x) = e^x f(x)\)

由于 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，在 \((a, b)\) 内可导，且指数函数处处连续可导， 故 \(F(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，在 \((a, b)\) 内可导

计算端点值：

\[F(a) = e^a f(a) = 0, \quad F(b) = e^b f(b) = 0\]

由罗尔定理，存在 \(\xi \in (a, b)\)，使得 \(F'(\xi) = 0\)

计算导数：

\[F'(x) = e^x f(x) + e^x f'(x) = e^x [f(x) + f'(x)]\]

因此

\[F'(\xi) = e^\xi [f(\xi) + f'(\xi)] = 0\]

由于 \(e^\xi \neq 0\)，故

\[f'(\xi) + f(\xi) = 0\]

5. 设函数 \(f(x) = x e^{-x}\), 求 \(f(x)\) 的单调区间, 极值点, 凹凸区间, 拐点及渐近线.

解

单调区间与极值点：

求一阶导数：

\[f'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = (1-x)e^{-x}\]

令 \(f'(x) = 0\)，得 \(x = 1\)

• 当 \(x < 1\) 时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增

• 当 \(x > 1\) 时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减

• \(x = 1\) 是极大值点，极大值为 \(f(1) = e^{-1} = \dfrac{1}{e}\)

凹凸区间与拐点：

求二阶导数：

\[f''(x) = -e^{-x} - (1-x)e^{-x} = (x-2)e^{-x}\]

令 \(f''(x) = 0\)，得 \(x = 2\)

• 当 \(x < 2\) 时，\(f''(x) < 0\)，函数凹 (上凸)

• 当 \(x > 2\) 时，\(f''(x) > 0\)，函数凸 (下凸)

• \(x = 2\) 是拐点，拐点坐标为 \((2, 2e^{-2})\)

渐近线：

• 水平渐近线：\(\lim\limits_{x \to +\infty} x e^{-x} = 0\)，故有水平渐近线 \(y = 0\)

• 垂直渐近线：无

• 斜渐近线：无

函数 \(f(x) = x e^{-x}\) 的图像