第二章随堂测验答案解析

第二章随堂测验答案解析#

  1. 设函数 \(f(x) = \ln(\ln(\ln x))\), 求它的导函数 \(f'(x)\).

解

由复合函数求导的链式法则知,

\[f'(x) = \dfrac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \dfrac{1}{\ln x} \cdot \dfrac{1}{x}\]

  1. 设有参数方程 \(\begin{cases} x \cos t + x^2 \sin t = 1 \\ y - e^y \sin t = 2 \end{cases}\) , 求 \(\displaystyle \left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{t = 0}\).

解

对 \(x \cos t + x^2 \sin t = 1\) 微分得

\[\cos t \mathrm{d}x - x \sin t \mathrm{d}t + 2x \sin t \mathrm{d}x + x^2 \cos t \mathrm{d}t = 0,\]

从而有

\[\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \dfrac{x \sin t - x^2 \cos t}{\cos t + 2x \sin t}.\]

对 \(y - e^y \sin t = 2\) 微分得

\[\mathrm{d}y - e^y \cos t \mathrm{d}t - e^y \sin t \mathrm{d}y = 0,\]

从而有

\[\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \dfrac{e^y \cos t}{1 - e^y \sin t}.\]

那么

\[\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \left/ \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right. = \dfrac{e^y \cos t}{1 - e^y \sin t} \left/ \dfrac{x \sin t - x^2 \cos t}{\cos t + 2x \sin t} \right.\]

将 \(t = 0\) 代入参数方程得 \(x = 1, y = 2\), 再代入上式得

\[\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{t = 0} = \dfrac{e^2}{-1} = -e^2.\]

  1. 设 \(f(x) = e^{3x-x^2}\), 请写出 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处带皮亚诺余项的泰勒公式 (展开到 \((x-1)^3\) 即可)

解
\[\begin{split}f(x) = & e^{3x-x^2} = e^{2 + (x-1) - (x-1)^2} \\ = & e^2 \left( 1 + \left[(x-1) - (x-1)^2\right] + \dfrac{\left[(x-1) - (x-1)^2\right]^2}{2!} + \dfrac{\left[(x-1) - (x-1)^2\right]^3}{3!} \right) \\ & + o((x-1)^3) \\ = & e^2 \left( 1 + (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 - \frac{5}{6}(x-1)^3 \right) + o((x-1)^3)\end{split}\]

  1. 设函数 \(f(x)\) 是开区间 \(I = (a_0, b_0)\) 上的函数且处处可导. 设闭区间 \([a, b] \subset I\) 包含于该开区间, 即 \(a_0 < a < b < b_0\). 请证明 \(f(x)\) 的导函数 \(f'(x)\) (注意, 导函数未必连续), 在闭区间 \([a, b]\) 上可取遍 \(f'(a)\) 与 \(f'(b)\) 之间的所有值.

解

不妨设 \(f'(a) < f'(b)\). 任取 \(f'(a)\) 与 \(f'(b)\) 之间的实数 \(t\), 即 \(f'(a) < t < f'(b)\), 令

\[g(x) = f(x) - tx,\]

那么 \(g(x)\) 是开区间 \(I = (a_0, b_0)\) 上处处可导的函数, 且 \(g'(x) = f'(x) - t\).

由闭区间上连续函数 (\(g(x)\) 可导, 从而连续) 的最大最小值定理知, 存在 \(\xi \in [a, b]\), 使得 \(g(\xi)\) 取到闭区间 \([a, b]\) 上的最小值. 由于 \(g'(a) < 0, g'(b) > 0\), 所以 \(\xi\) 不能是 \(a, b\) 中任何一个, 由费马引理知, \(g'(\xi) = 0\), 即 \(f'(\xi) = t\).

备注

由于 \(\displaystyle g'(a) = g'_+(a) = \lim_{x \to a+} \dfrac{g(x) - g(a)}{x - a} < 0\), 由极限的保号性知, 存在足够小的正数 \(\delta_1 > 0\), 使得对任意 \(x \in (a, a + \delta_1)\) 都有 \(g(x) < g(a)\), 所以 \(a\) 不是最小值点. 同理, 由于 \(\displaystyle g'(b) = g'_-(b) = \lim_{x \to b-} \dfrac{g(x) - g(b)}{x - b} > 0\), 存在足够小的正数 \(\delta_2 > 0\), 使得对任意 \(x \in (b - \delta_2, b)\) 都有 \(g(x) < g(b)\), 所以 \(b\) 也不是最小值点.

备注

这题如果假设 \(f'(a) > f'(b)\), 则相应地要取 \(\xi\) 为 \(g(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上的最大值点.

  1. 设 \(\displaystyle f(x) = \lvert x + 2 \rvert e^{-\frac{1}{x}}\), 求 \(f(x)\) 的单调区间, 极值点, 凹凸区间, 拐点, 渐近线.

证明

\(f(x)\) 在 \(x = -2\) 处不可导, 是可能的极值点与拐点.

\(f(x)\) 的导函数为

\[\begin{split}f'(x) = \begin{cases} - \dfrac{x^2 + x + 2}{x^2} e^{-\frac{1}{x}}, & x < -2 \\ \dfrac{x^2 + x + 2}{x^2} e^{-\frac{1}{x}}, & x > -2 ~ \text{且} ~ x \neq 0 \end{cases}\end{split}\]

  • 当 \(x < -2\) 时, \(f'(x) < 0\), \(f(x)\) 单调递减;

  • 当 \(-2 < x < 0\) 时, \(f'(x) > 0\), \(f(x)\) 单调递增;

  • 当 \(x > 0\) 时, \(f'(x) > 0\), \(f(x)\) 单调递增.

\(f(x)\) 在 \(x = -2\) 处取到极小值 \(f(-2) = 0\). 由于 \(f(x)\) 取值恒非负, 所以 \(x = -2\) 也是最小值点.

\(f(x)\) 的二阶导函数为

\[\begin{split}f''(x) = \begin{cases} - \dfrac{2 - 3x}{x^4} e^{-\frac{1}{x}}, & x < -2 \\ \dfrac{2 - 3x}{x^4} e^{-\frac{1}{x}}, & x > -2 ~ \text{且} ~ x \neq 0 \end{cases}\end{split}\]

  • 当 \(x < -2\) 时, \(f''(x) < 0\), \(f(x)\) 上凸;

  • 当 \(-2 < x < 0\) 时, \(f''(x) > 0\), \(f(x)\) 下凸;

  • 当 \(0 < x < \dfrac{2}{3}\) 时, \(f''(x) > 0\), \(f(x)\) 下凸;

  • 当 \(x > \dfrac{2}{3}\) 时, \(f''(x) < 0\), \(f(x)\) 上凸.

\(f''(x)\) 在其零点 \(x = \dfrac{2}{3}\) 附近符号变化, 所以 \(\left(\dfrac{2}{3}, f\left(\dfrac{2}{3}\right)\right)\) 是拐点. 在 \(f''(x)\) 不存在的点 \(x = -2\) 附近, \(f''(x)\) 符号也发生变化, 所以 \((-2, 0)\) 是拐点.

  • 由于 \(\displaystyle \lim_{x \to 0-} f(x) = +\infty\), 所以有垂直渐近线 \(x = 0\).

  • 由于 \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 1\), 以及 \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (f(x) - x) = 1\), 所以有斜渐近线 \(y = x + 1\).

  • 又有 \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = -1\), 以及 \(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (f(x) + x) = -1\), 所以有斜渐近线 \(y = -x - 1\).

Figure made with TikZ

函数 \(\lvert x + 2 \rvert e^{-\frac{1}{x}}\) 的图像