第三章随堂测验

第三章随堂测验#

备注

此次随堂测验未进行.

  1. 求不定积分 \(\displaystyle\int \dfrac{\arctan x}{x^2 + 1} \mathrm{d} x\).

  2. 求极限 \(\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + \sqrt{x}} \mathrm{d} x\).

  3. 求函数 \(\displaystyle f(x) = \int_1^{x^3} e^{t^2} \mathrm{d} t\) 的导数.

  4. 求由曲线 \(y = \sqrt{x}\) 与 \(y = x^2\) 所围成的图形的面积.

  5. 证明 \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{(1 + x^2)(1 + x^a)}\) 与 \(a\) 无关.

    提示: 先证明积分收敛, 然后将积分区域分为 \([0, 1]\) 和 \([1, +\infty)\) 两部分.