第一章随堂测验

1. 问函数 \(f(x) = x \cos x\) 是否是周期函数, 如果是, 给出它的一个周期；如果不是, 说明理由.

2. 求函数极限 \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}\).

3. 设数列 \(\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) 满足: \(0 < a_1 < \pi, a_{n+1} = \sin a_n (n = 1, 2, \ldots)\), 求证数列极限 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n\) 存在.

4. 设 \(n \in \mathbb{N}\) 为正整数. 当 \(x \to 0\) 时, \((1 - \cos x) \cdot \ln (1 + x^2)\) 是比 \(x \sin x^n\) 高阶的无穷小, 而 \(x \sin x^n\) 是比 \(e^{x^2} - 1\) 高阶的无穷小. 求正整数 \(n\) 的值.

5. 函数 \(f(x) = \dfrac{(x - 1) \sin(x - 2)}{ x \lvert x - 1 \rvert (x - 2)}\) 都有哪些间断点? 这些间断点的类型分别是什么?