第三章随堂测验答案解析

备注

此次随堂测验未进行.

1. 求不定积分 \(\displaystyle \int \dfrac{\arctan x}{x^2 + 1} \mathrm{d} x\).

解

\[\begin{split}\int \dfrac{\arctan x}{x^2 + 1} \mathrm{d} x & = \int \arctan x \mathrm{d} (\arctan x) \\ & = \dfrac{1}{2} \arctan^2 x + C.\end{split}\]

2. 求极限 \(\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + \sqrt{x}} \mathrm{d} x\).

解

在区间 \([0, 1]\) 上有不等式

\[0 \leqslant \dfrac{x^n}{1 + \sqrt{x}} \leqslant x^n.\]

所以

\[\begin{split}0 \leqslant \lim\limits_{n \to \infty} \int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + \sqrt{x}} \mathrm{d} x & \leqslant \lim\limits_{n \to \infty} \int_0^1 x^n \mathrm{d} x \\ & = \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n + 1} \\ & = 0.\end{split}\]

由夹逼定理知原极限 \(\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + \sqrt{x}} \mathrm{d} x = 0\).

3. 求函数 \(\displaystyle f(x) = \int_1^{x^3} e^{t^2} \mathrm{d} t\) 的导数.

解

由导数的定义有

\[\begin{split}f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \int_1^{(x + h)^3} e^{t^2} \mathrm{d} t - \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \int_1^{x^3} e^{t^2} \mathrm{d} t \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \int_{x^3}^{(x + h)^3} e^{t^2} \mathrm{d} t \\\end{split}\]

那么由积分中值定理有

\[\begin{split}f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \int_{x^3}^{(x + h)^3} e^{t^2} \mathrm{d} t \\ & = \lim\limits_{h \to 0} e^{\xi^2} \int_{x^3}^{(x + h)^3} \mathrm{d} t \\ & = \lim\limits_{h \to 0} e^{\xi^2} \cdot 3h(x + h)^2 \\ & = 3x^2 e^{x^6}.\end{split}\]

备注

一般地, 如果 \(\displaystyle f(x) = \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} g(t) \mathrm{d} t\), 那么

\[f'(x) = g(\psi(x)) \psi'(x) - g(\varphi(x)) \varphi'(x).\]

可以直接使用这个公式求解上面的题目.

4. 求由曲线 \(y = \sqrt{x}\) 与 \(y = x^2\) 所围成的图形的面积.

解

解方程 \(\sqrt{x} = x^2\) 求得曲线 \(y = \sqrt{x}\) 与 \(y = x^2\) 的交点为 \((0, 0)\) 和 \((1, 1)\). 那么所求面积为

\[\begin{split}S & = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^2) \mathrm{d} x \\ & = \left.\left( \dfrac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \dfrac{1}{3} x^3 \right) \right|_0^1 \\ & = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}.\end{split}\]

5. 证明 \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{(1 + x^2)(1 + x^a)}\) 与 \(a\) 无关.

   提示: 先证明积分收敛, 然后将积分区域分为 \([0, 1]\) 和 \([1, +\infty)\) 两部分.

证明

由于

\[0 \leqslant \dfrac{1}{(1 + x^2)(1 + x^a)} \leqslant \dfrac{1}{1 + x^2},\]

而 \(\displaystyle \int_0^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{1 + x^2} = \dfrac{\pi}{2}\) 收敛, 由比较判别法知原积分收敛. 那么有

\[\begin{split}\int_0^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{(1 + x^2)(1 + x^a)} & = \int_0^1 \dfrac{\mathrm{d} x}{(1 + x^2)(1 + x^a)} + \int_1^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{(1 + x^2)(1 + x^a)} \\ & = \int_{+\infty}^1 \dfrac{\mathrm{d} \frac{1}{x}}{(1 + \frac{1}{x^2})(1 + \frac{1}{x^a})} + \int_1^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{(1 + x^2)(1 + x^a)} \\ & = -\int_1^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} \frac{1}{x}}{(1 + \frac{1}{x^2})(1 + \frac{1}{x^a})} + \int_1^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{(1 + x^2)(1 + x^a)} \\ & = \int_1^{+\infty} \dfrac{x^a \mathrm{d} x}{(1 + x^2)(1 + x^a)} + \int_1^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{(1 + x^2)(1 + x^a)} \\ & = \int_1^{+\infty} \dfrac{(1 + x^a) \mathrm{d} x}{(1 + x^2)(1 + x^a)} \\ & = \int_1^{+\infty} \dfrac{\mathrm{d} x}{1 + x^2} \\ & = \dfrac{\pi}{2} - \arctan 1 \\ & = \dfrac{\pi}{4}.\end{split}\]

以上值与 \(a\) 无关.