第 1-4 章随堂测验#
设函数 \(f(x) = \ln(\sqrt{x^2 + 1} + x)\), 求它的导函数 \(f'(x)\).
设函数 \(y = y(x)\) 由方程 \(e^{x+y} - xy = 1\) 确定, 求 \(\dfrac{dy}{dx}\) 在点 \((0,0)\) 处的值.
设 \(f(x) = \arctan x\), 请写出 \(f(x)\) 在 \(x = 0\) 处带皮亚诺余项的泰勒公式（展开到 \(x^3\) 项）.
设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续, 在开区间 \((a, b)\) 内可导, 且 \(f(a) = f(b) = 0\). 证明存在 \(\xi \in (a, b)\) 使得 \(f'(\xi) + f(\xi) = 0\).
设函数 \(f(x) = x e^{-x}\), 求 \(f(x)\) 的单调区间, 极值点, 凹凸区间, 拐点及渐近线.