§2 有界点集的外、内测度 · 可测集#
试证可列个零测度集的并集仍是零测度集.
设 \(E=\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n\), 其中 \(E_n\) 是零测度集. 由于 \(0 \leqslant m_* E \leqslant m^* E\), 所以要证明 \(E\) 是零测度集, 只要证明 \(E\) 的外测度为零即可. 根据外测度的性质, 有
所以 \(m^* E = 0\), 即 \(E\) 是零测度集.
设 \(G_1, G_2\) 是开集, 且 \(G_1\) 是 \(G_2\) 的真子集, 是否一定有 \(m G_1 < m G_2\)?
不一定. 例如 \(G_1 = (0, 1) \cup (1, 2), G_2 = (0, 2)\), 则 \(G_1\) 是 \(G_2\) 的真子集, 但是 \(m G_1 = m G_2 = 2\).
对任意开集 \(G\), 是否有 \(m \overline{G} = m G\) 成立?
不一定. 例如, 令 \(0 < \varepsilon < 1\), 取 \(A = (0, 1) \cap \mathbb{Q} = \{ a_1, a_2, \cdots \}\), 对每个有理数 \(a_n \in A\), 取开区间 \(G_n = (a_n - \frac{\varepsilon}{2^{n+1}}, a_n + \frac{\varepsilon}{2^{n+1}})\), 则 \(G = \bigcup\limits_{n=1}^\infty G_n\) 是开集, 且有
但是 \(\overline{G} = [0, 1]\), 所以 \(m \overline{G} = 1\). 此时必有 \(m \overline{G} \neq m G\).
如果把外测度的定义改为“有界集 \(E\) 的外测度定义为包含 \(E\) 的闭集的测度的下确界”, 是否合理?
不合理.
假设我们定义有界集 \(E\) 的外测度为包含 \(E\) 的闭集的测度的下确界, 即
因为闭集的闭包仍然是闭集, 以 上题 中的 \(G\) 为例, 对于任何一个包含 \(G\) 的闭集 \(F\) 来说, 都有 \(\overline{G} \subset \overline{F} = F\), 所以 \(1 = m \overline{G} \leqslant m F\), 取下确界, 得到 \(1 \leqslant m^* G\). 而对每一个开区间 \(G_n = (a_n - \frac{\varepsilon}{2^{n+1}}, a_n + \frac{\varepsilon}{2^{n+1}})\) 来说, 包含它的最小闭集为 \(\overline{G_n} = [a_n - \frac{\varepsilon}{2^{n+1}}, a_n + \frac{\varepsilon}{2^{n+1}}]\), 所以这样定义的 \(G_n\) 的外测度 \(m^* G_n = \dfrac{\varepsilon}{2^n}\). 那么 \(\sum\limits_{n=1}^\infty m^* G_n = \varepsilon\). 这样一来, 外测度的半可加性
就不成立了.
备注
事实上, 对于 上题 中的 \(G\), 由于 \(\overline{G}\) 是包含 \(G\) 的闭集, 所以又有 \(m^* G \leqslant m \overline{G} = m [0, 1] = 1\), 结合本题假设下我们已经得到的 \(1 \leqslant m^* G\) 的结论, 可以得到 \(m^* G = 1\), 我们具体求得了集合 \(G\) 的外测度 (虽然不是良定义的).
设 \(A_1, A_2, \cdots, A_n\) 是 \(n\) 个互不相交的可测集, 且 \(E_k \subset A_k, k = 1, 2, \cdots, n\). 试证
记 \(E = \bigcup\limits_{k=1}^n E_k\). 由于 \(E_k \subset A_k, k = 1, 2, \cdots, n\), 且 \(A_k\) 互不相交, 所以
由于 \(A_1, A_2, \cdots, A_n\) 是可测集, 根据可测集的 Carahtéodory 条件, 有