§1 \(L^p\) 空间 · 完备性

1. 试证: 当 \(m E < \infty\) 时, 对 \(1 \leqslant r < p\) 有 \(L^p \subset L^r\). 当 \(m E = \infty\) 时, 结论如何?

证明

\(1^{\circ}\) 当 \(p = \infty\) 时, 存在非负实数 \(M\), 以及零测集 \(e \subset E\), 使得对任意 \(x \in E \setminus e\) 有 \(|f(x)| \leqslant M\). 于是

\[\int_E |f|^r ~ \mathrm{d} m = \int_{E \setminus e} |f|^r ~ \mathrm{d} m \leqslant M^r m E < \infty,\]

即 \(f \in L^r\). 因此 \(L^\infty \subset L^r\).

\(2^{\circ}\) 当 \(p < \infty\) 时, 由于 \(f \in L^p\), 故 \(\displaystyle \int_E |f|^p ~ \mathrm{d} m < \infty\). 令 \(A = E(|f| \geqslant 1)\), 由于 \(1 \leqslant r < p\), 故对任意 \(x \in A\) 有 \(|f(x)|^r \leqslant |f(x)|^p\). 于是

\[\begin{split}\int_E |f|^r ~ \mathrm{d} m & = \int_A |f|^r ~ \mathrm{d} m + \int_{E \setminus A} |f|^r ~ \mathrm{d} m \\ & \leqslant \int_A |f|^p ~ \mathrm{d} m + m E \leqslant \int_E |f|^p ~ \mathrm{d} m + m E < \infty,\end{split}\]

即 \(f \in L^r\). 因此 \(L^p \subset L^r\).

\(3^{\circ}\) 当 \(m E = \infty\) 时, \(L^p\) 与 \(L^r\) 没有包含关系. 例如, 取 \(E = (0, +\infty)\). 当 \(p = \infty\) 时,

• 取 \(f(x) = 1\), 则 \(f \in L^\infty\), 但 \(f \not\in L^r\);

• 取 \(f(x) = \begin{cases} x^{-1/2r}, & x \leqslant 1, \\ 0, & x > 1, \end{cases}\) 则 \(f \in L^r\), 但 \(f \not\in L^\infty\).

当 \(p < \infty\) 时,

• 取 \(f(x) = \begin{cases} x^{-1/p}, & x \leqslant 1, \\ 0, & x > 1, \end{cases}\) 则 \(f \in L^r\), 但 \(f \not\in L^p\);

• 取 \(f(x) = \begin{cases} x^{-1/r}, & x \geqslant 1, \\ 0, & x < 1, \end{cases}\) 则 \(f \in L^p\), 但 \(f \not\in L^r\).

2. 设 \(p > 1\), 序列 \(\{ f_n \} \subset L^p\) 并设基本集 \(E\) 的测度为有限. 若在 \(L^p\) 中 \(f_n \xrightarrow{\text{强}} f\), \(f \in L^p\), 证明当 \(1 \leqslant r < p\) 时在 \(L^r\) 中 \(f_n \xrightarrow{\text{强}} f\).

证明

由 本章第 1 题 知 \(L^p \subset L^r\), 故 \(f_n \in L^r\). 由 \(L^p\) 以及 \(L^r\) 的完备性知 \(f \in L^p \subset L^r\). 先对 \(p < \infty\) 的情形证明. 由于在 \(L^p\) 中 \(f_n \xrightarrow{\text{强}} f\), 即有

\[\lim_{n \to \infty} \lVert f_n - f \rVert_p = 0.\]

取实数 \(q > 1\), 使得 \(1/p + 1/q = 1/r\), 对一般的 \(E\) 上可测函数 \(g_1, g_2\), 考虑函数 \(|g_1|^r\) 与 \(|g_2|^r\), 以及 \(1/(\frac{p}{r}) + 1/(\frac{q}{r}) = 1\), 由 Hölder 不等式知

\[\int_E |g_1 g_2|^r ~ \mathrm{d} m \leqslant \left( \int_E (|g_1|^r)^{p/r} ~ \mathrm{d} m \right)^{r/p} \left( \int_E (|g_2|^r)^{q/r} ~ \mathrm{d} m \right)^{r/q} = \lVert g_1 \rVert_p^r \lVert g_2 \rVert_q^r.\]

对上式两边开 r 次方, 有

\[\lVert g_1 g_2 \rVert_r \leqslant \lVert g_1 \rVert_p \lVert g_2 \rVert_q.\]

由于 \(E\) 的测度有限, 取 \(g_1 = f_n - f\), \(g_2 = 1\), 有

\[\lVert f_n - f \rVert_r \leqslant \lVert f_n - f \rVert_p \cdot \lVert 1 \rVert_q = \lVert f_n - f \rVert_p \cdot m E^{1/q} \to 0 \quad (n \to \infty).\]

即 \(f_n \xrightarrow{\text{强}} f\) 在 \(L^r\) 中成立.

当 \(p = \infty\) 时, 由条件知 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \lVert f_n - f \rVert_\infty = 0\), 那么对任意给定的 \(\varepsilon > 0\), 存在 \(N\), 使得对任意 \(n > N\) 有 \(\lVert f_n - f \rVert_\infty < \varepsilon\). 也就是说存在零测集 \(e_n \subset E\), 使得对任意 \(x \in E \setminus e_n\) 有 \(|f_n(x) - f(x)| < 2\varepsilon\). 于是

\[\int_E |f_n - f|^r ~ \mathrm{d} m = \int_{E \setminus e_n} |f_n - f|^r ~ \mathrm{d} m \leqslant 2^r \varepsilon^r m E.\]

对上式两边开 r 次方, 可得对任意 \(n > N\) 有

\[\lVert f_n - f \rVert_r \leqslant 2 \varepsilon (m E)^{1/r}.\]

这就表明了 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \lVert f_n - f \rVert_r = 0\), 即 \(f_n \xrightarrow{\text{强}} f\) 在 \(L^r\) 中成立.

3. 设在 \(L^2\) 中 \(f_n \xrightarrow{\text{强}} f\), 又 \(f_n \xrightarrow{\text{a.e.}} g\), 证明 \(f \sim g\).

证明

设 \(f_n \to g ~ (n \to \infty)\) 对任意 \(x \in F = E \setminus e\) 成立, 其中 \(e\) 是零测集. 那么由 Fatou 引理有

\[\begin{split}\int_E |f - g|^2 ~ \mathrm{d} m & = \int_F |f - g|^2 ~ \mathrm{d} m = \int_F \lim_{n \to \infty} |f - f_n|^2 ~ \mathrm{d} m \\ & \leqslant \varliminf_{n \to \infty} \int_F |f - f_n|^2 ~ \mathrm{d} m = \varliminf_{n \to \infty} \int_E |f - f_n|^2 ~ \mathrm{d} m \\ & = \varliminf_{n \to \infty} \lVert f - f_n \rVert_2^2 = 0.\end{split}\]

由勒贝格积分的唯一性知 \(|f - g|^2 \sim 0\), 即 \(f \sim g\).

4. 设 \(f, f_n \in L^p ~ (p \geqslant 1)\), \(f_n \xrightarrow{\text{a.e.}} f\), 又设

   \[\int_E |f_n|^p ~ \mathrm{d} m \to \int_E |f|^p ~ \mathrm{d} m.\]

   证明对任何可测子集 \(e \subset E\), 有

   \[\int_e |f_n|^p ~ \mathrm{d} m \to \int_e |f|^p ~ \mathrm{d} m.\]

证明

这题是 上一章第 4 章第 20 题 的平凡推广.

5. 设 \(f, f_n \in L^p ~ (p \geqslant 1)\), \(f_n \xrightarrow{\text{a.e.}} f\). 证明在 \(L^p\) 中 \(f_n \xrightarrow{\text{强}} f\) 的充要条件是 \(\lVert f_n \rVert_p \to \lVert f \rVert_p\).

证明

必要性: 由 Minkowski 不等式, 对任意 \(n \in \mathbb{N}\) 有

(1)\[\lVert f_n - f \rVert_p + \lVert f_n \rVert_p \geqslant \lVert f \rVert_p.\]

对上式关于 \(n\) 取下极限, 有

(2)\[\varliminf_{n \to \infty} \lVert f_n \rVert_p \geqslant \lVert f \rVert_p.\]

类似地, 对任意 \(n \in \mathbb{N}\) 有

(3)\[\lVert f - f_n \rVert_p + \lVert f \rVert_p \geqslant \lVert f_n \rVert_p.\]

对上式关于 \(n\) 取上极限, 有

(4)\[\varlimsup_{n \to \infty} \lVert f_n \rVert_p \leqslant \lVert f \rVert_p.\]

综合 (2) 与 (4), 得到 \(\lVert f_n \rVert_p \to \lVert f \rVert_p\).

充分性: 由于零测集不影响可积性与积分值, 故不妨设 \(f_n \to f ~ (n \to \infty)\) 对任意 \(x \in E\) 成立. 对于任意 \(1 \leqslant p < \infty\), 由于 \(\varphi(t) = t^p\) 是凸函数, 故

\[| f_n - f |^p = 2^p \left\lvert \dfrac{f_n - f}{2} \right\rvert^p \leqslant 2^{p - 1} \left( |f_n|^p + |f|^p \right).\]

令 \(g_n = 2^{p - 1} \left( |f_n|^p + |f|^p \right) - | f_n - f |^p\) 为非负可测函数. 由于 \(f_n \to f ~ (n \to \infty)\), 故有 \(g_n \to 2^p |f|^p\) 对任意 \(x \in E\) 成立. 由 Fatou 引理知

\[\int_E \lim_{n \to \infty} g_n ~ \mathrm{d} m \leqslant \varliminf_{n \to \infty} \int_E g_n ~ \mathrm{d} m,\]

即有

\[\begin{split}\int_E 2^p |f|^p ~ \mathrm{d} m & \leqslant \varliminf_{n \to \infty} \int_E 2^{p - 1} \left( |f_n|^p + |f|^p - | f_n - f |^p \right) ~ \mathrm{d} m \\ & = \int_E 2^{p - 1} |f|^p ~ \mathrm{d} m + \lim_{n \to \infty} 2^{p - 1} \int_E |f_n|^p ~ \mathrm{d} m - \varlimsup_{n \to \infty} \int_E | f_n - f |^p ~ \mathrm{d} m \\ & = \int_E 2^p |f|^p ~ \mathrm{d} m - \varlimsup_{n \to \infty} \int_E | f_n - f |^p ~ \mathrm{d} m.\end{split}\]

由上式可得

\[\varlimsup_{n \to \infty} \int_E | f_n - f |^p ~ \mathrm{d} m \leqslant 0,\]

这表明有 \(\lVert f_n - f \rVert_p \to 0\), 即 \(f_n \xrightarrow{\text{强}} f\).

6. 试作依赖于给定函数 \(f\) 的连续函数序列 \(\{ f_n \}\) 使得对任何 \(p\), \(1 \leqslant p < \infty\) 时, 都有 \(f_n \xrightarrow{\text{强}} f ~ (n \to \infty)\). 又问此结论能否包括 \(p = \infty\) 的情形?

解

7. 设 \(1 \leqslant p < q \leqslant \infty\), 问两关系式 \(L^q(\mathbb{R}) \subset L^p(\mathbb{R})\) 与 \(L^p(\mathbb{R}) \subset L^q(\mathbb{R})\) 是否必有一成立?

解

\(L^q(\mathbb{R})\) 与 \(L^p(\mathbb{R})\) 之间的没有包含关系. 相关的例子见 本章第 1 题, 只要将其中的函数从 \((0, +\infty)\) 扩展到整个实数轴即可, 函数在扩充的区域 \((-\infty, 0)\) 上取零即可.

8. 设 \(f \in L^p(0, \pi/2)\), \(1 \leqslant p < \infty\). 试证

   \[\left( \int_{(0, \pi/2)} |f(x)| \cos x ~ \mathrm{d} m \right)^p \leqslant \int_{(0, \pi/2)} |f(x)|^p \cos x ~ \mathrm{d} m.\]

证明

\(p = 1\) 时, 上式平凡成立, 为恒等式.

对 \(p > 1\) 的情形, 令 \(q > 1\) 满足 \(1/p + 1/q = 1\). 由于在 \((0, \pi/2)\) 上有 \(0 < \cos x < 1\), 故 \(\cos x\) 及其任意正次幂都是可积函数. 由 Hölder 不等式知

\[\begin{split}\int_{(0, \pi/2)} |f(x)| \cos x ~ \mathrm{d} m & = \int_{(0, \pi/2)} \left( |f(x)| (\cos x)^{1/p} \right) \cdot (\cos x)^{1/q} ~ \mathrm{d} m \\ & \leqslant \left( \int_{(0, \pi/2)} |f(x)|^p \cos x ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p} \left( \int_{(0, \pi/2)} \cos x ~ \mathrm{d} m \right)^{1/q} \\ & = \left( \int_{(0, \pi/2)} |f(x)|^p \cos x ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p} \cdot \left( (R)\int_0^{\pi/2} \cos x ~ \mathrm{d} x \right)^{1/q} \\ & = \left( \int_{(0, \pi/2)} |f(x)|^p \cos x ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p} \cdot \left( \sin x \big|_0^{\pi/2} \right)^{1/q} \\ & = \left( \int_{(0, \pi/2)} |f(x)|^p \cos x ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p}.\end{split}\]

上式两边取 p 次幂即得

\[\left( \int_{(0, \pi/2)} |f(x)| \cos x ~ \mathrm{d} m \right)^p \leqslant \int_{(0, \pi/2)} |f(x)|^p \cos x ~ \mathrm{d} m.\]

9. 设对任意 \(1 \leqslant p < \infty\) 均有 \(f \in L^p(E)\), 这里 \(m E < \infty\), 问 \(f \in L^\infty(E)\) 是否成立? 又若对任意 \(0 < p < 1\) 均有 \(f \in L^p(E)\), 是否有 \(f \in L^1(E)\)?

解

若对任意 \(1 \leqslant p < \infty\) 均有 \(f \in L^p(E)\), \(f \in L^\infty(E)\) 不一定成立. 例如, 取 \(E = (0, 1)\), 以及函数

\[f(x) = \ln \left( \dfrac{1}{x} \right),\]

由于 \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\), 故 \(f \not\in L^\infty(E)\). 另一方面, 对任意 \(1 \leqslant p < \infty\), 有

\[\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\left( \ln \left( \frac{1}{x} \right) \right)^p}{x^{-1/2}} = \lim_{t \to +\infty} \dfrac{t^p}{e^{t/2}} = 0,\]

而 \(\displaystyle \int_{(0, 1)} x^{-1/2} ~ \mathrm{d} x = 2 < \infty\), 故 \(f \in L^p(E)\).

若对任意 \(0 < p < 1\) 均有 \(f \in L^p(E)\), \(f \in L^1(E)\) 也不一定成立. 例如, 取 \(E = (0, 1)\), 以及函数

\[f(x) = \dfrac{1}{x}.\]

对任意 \(0 < p < 1\), 有

\[\int_{(0, 1)} \dfrac{1}{x^p} ~ \mathrm{d} m = (R) \int_0^1 x^{-p} ~ \mathrm{d} x = \dfrac{1}{1 - p} x^{1 - p} \bigg|_0^1 = \dfrac{1}{1 - p} < \infty,\]

故 \(f \in L^p(E)\). 但是 \((0, 1)\) 上的非负函数 \(f(x)\) 的反常积分

\[\int_0^1 x^{-1} ~ \mathrm{d} x = \ln x \bigg|_0^1 = +\infty,\]

故 \(f \not\in L^1(E)\).

10. 设 \(F(x)\) 是 \(L^p ~ (p > 1)\) 中某个元的不定积分, 证明渐近式

    \[F(x + h) - F(x) = O(h^{1 - 1/p}) \quad (h \to 0)\]

    成立.

证明

设 \(f \in L^p\) 为 \(F(x)\) 的不定积分. 对任意 \(x, h\), 记 \(E_h\) 为以 \(x, x + h\) 为端点的区间. 令 \(q > 1\) 满足 \(1/p + 1/q = 1\), 由 Hölder 不等式有

(5)\[\begin{split}\lvert F(x + h) - F(x) \rvert & = \left\lvert \int_{E_h} f ~ \mathrm{d} m \right\rvert \leqslant \int_{E_h} |f| ~ \mathrm{d} m \\ & \leqslant \left( \int_{E_h} |f|^p ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p} \left( \int_{E_h} 1 ~ \mathrm{d} m \right)^{1/q} \\ & = \left( \int_{E_h} |f|^p ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p} \cdot |h|^{1/q} \\ & = \left( \int_{E_h} |f|^p ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p} \cdot |h|^{1 - 1/p}.\end{split}\]

由勒贝格积分的绝对连续性知, 对任意给定的 \(\varepsilon > 0\), 存在 \(\delta > 0\), 使得对任意满足 \(m E_h < \delta\) (即满足 \(|h| < \delta\)) 的区间 \(E_h\) 有

\[\left( \int_{E_h} |f|^p ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p} < \varepsilon,\]

代入 (5) 即得

(6)\[\lvert F(x + h) - F(x) \rvert < \varepsilon^{1/p} \cdot |h|^{1 - 1/p},\]

即 \(F(x + h) - F(x) = O(h^{1 - 1/p})\).

备注

从 (6) 式可以看出, 我们实际证明了一个更强的结论, 即 \(F(x + h) - F(x) = o(h^{1 - 1/p})\).

11. 设 \(f(x)\) 是平方可积函数, 且存在 \(\alpha > 0\) 满足

    \[\lVert f(x + h) - f(x) \rVert_2 = O(h^{1 + \alpha}), \quad h \to 0,\]

    试证 \(f(x)\) 几乎处处为常数.

证明

由 \(\lVert f(x + h) - f(x) \rVert_2 = O(h^{1 + \alpha})\) 知存在常数 \(C > 0\), 以及 \(\delta > 0\), 使得对任意满足 \(0 < |h| < \delta\) 的 \(h\) 有

\[\int_E |f(x + h) - f(x)|^2 ~ \mathrm{d} m < C |h|^{2 + 2\alpha},\]

即

\[\int_E \left\lvert \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \right\rvert^2 ~ \mathrm{d} m < C |h|^{2\alpha}.\]

对任意有限区间 \(I \subset E\), 由 Hölder 不等式有

\[\int_I \left\lvert f \right\rvert ~ \mathrm{d} m \leqslant \left( \int_I 1 ~ \mathrm{d} m \right)^{1/2} \left( \int_I |f|^2 ~ \mathrm{d} m \right)^{1/2} \leqslant \sqrt{m I} \cdot \lVert f \rVert_2.\]

由此可知 \(f(x)\) 在 \(I\) 上可积, 从而在 \(I\) 上, 进而在 \(E\) 上, 几乎处处都是 \(f(x)\) 的勒贝格点. 任取一个勒贝格点 \(a\), 任取 \(x_0 \in E\), 记 \(E_0\) 为以 \(a, x_0\) 为端点的区间, 那么有

\[\begin{split}\left\lvert \int_{E_0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} ~ \mathrm{d} m \right\rvert & \leqslant \int_{E_0} \left\lvert \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \right\rvert ~ \mathrm{d} m \\ & \leqslant \left( \int_{E} \left\lvert \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \right\rvert^2 ~ \mathrm{d} m \right)^{1/2} \cdot \sqrt{m E_0} \\ & < C |h|^\alpha \cdot \sqrt{m E_0}.\end{split}\]

由于 \(\alpha > 0\), 令 \(h \to 0\) 即得

\[0 = \lim_{h \to 0} \int_{E_0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} ~ \mathrm{d} m = \lim_{h \to 0} \left( \int_{E_{0,h}} \dfrac{f(x)}{h} ~ \mathrm{d} m - \int_{E_{a,h}} \dfrac{f(x)}{h} ~ \mathrm{d} m \right),\]

其中 \(E_{0,h}\) 为以 \(a, x_0 + h\) 为端点的区间, \(E_{a,h}\) 为以 \(a, a + h\) 为端点的区间. 由于 \(a\) 是 \(f(x)\) 的勒贝格点, 故有 \(\displaystyle \lim_{h \to 0} \int_{E_{a,h}} \dfrac{f(x)}{h} ~ \mathrm{d} m = f(a)\). 又由于 \(E\) 上 几乎处处都是 \(f(x)\) 的勒贝格点, 从而知

\[\lim_{h \to 0} \int_{E_{0,h}} \dfrac{f(x)}{h} ~ \mathrm{d} m = f(x_0), \quad \text{a.e.} ~ x_0 \in E,\]

进而有

\[f(x_0) = f(a), \quad \text{a.e.} ~ x_0 \in E,\]

即 \(f(x)\) 几乎处处为常数.

备注

此解答由数学221的邵军奥同学提供.

12. 设 \(f \in L^p(\mathbb{R})\), \(p > 0\). 证明对任何 \(p_1, p_2 > 0\), \(p_1 < p < p_2\), 恒有分解 \(f = f_1 + f_2\), 其中 \(f_1 \in L^{p_1}(\mathbb{R})\), \(f_2 \in L^{p_2}(\mathbb{R})\). 并给出这种分解的一个应用.

证明

令 \(A = \mathbb{R}(|f| > 1)\), \(B = \mathbb{R}(|f| \leqslant 1)\), 那么 \(f = f \chi_A + f \chi_B = f_1 + f_2\). 由于 \(f \in L^p(\mathbb{R})\), 即 \(\lVert f \rVert_p < \infty\), 所以

\[\begin{split}\begin{gathered} \int_{\mathbb{R}} |f_1|^{p_1} ~ \mathrm{d} m = \int_A |f|^{p_1} ~ \mathrm{d} m \leqslant \int_A |f|^p ~ \mathrm{d} m \leqslant \int_{\mathbb{R}} |f|^p ~ \mathrm{d} m = \lVert f \rVert_p^p < \infty, \\ \int_{\mathbb{R}} |f_2|^{p_2} ~ \mathrm{d} m = \int_B |f|^{p_2} ~ \mathrm{d} m \leqslant \int_B |f|^p ~ \mathrm{d} m \leqslant \int_{\mathbb{R}} |f|^p ~ \mathrm{d} m = \lVert f \rVert_p^p < \infty. \end{gathered}\end{split}\]

由此可知 \(f_1 \in L^{p_1}(\mathbb{R})\), \(f_2 \in L^{p_2}(\mathbb{R})\).

13. 设 \(f, g\) 为 \(E = (0, 1)\) 上非负可测函数, 满足 \(f(x)g(x) \geqslant x^{-1}\), a.e., 试证

    \[\int_E f(x) ~ \mathrm{d} m \int_E g(x) ~ \mathrm{d} m \geqslant 4,\]

    并问式中等号可否成立?

证明

由于 \(f, g\) 为 \(E = (0, 1)\) 上非负可测函数, 满足 \(f(x)g(x) \geqslant x^{-1}\), a.e., 故有

\[g(x) \geqslant \dfrac{1}{x f(x)}, \quad \text{a.e.} ~ x \in E.\]

由 Hölder 不等式知

\[\begin{split}\int_E f(x) ~ \mathrm{d} m \int_E g(x) ~ \mathrm{d} m & \geqslant \int_E f(x) ~ \mathrm{d} m \int_E \dfrac{1}{x f(x)} ~ \mathrm{d} m \\ & = \left( \left( \int_E \left( (f(x))^{1/2} \right)^2 ~ \mathrm{d} m \right)^{1/2} \left( \int_E \left( \left(\dfrac{1}{x f(x)}\right)^{1/2} \right)^2 ~ \mathrm{d} m \right)^{1/2} \right)^2 \\ & \geqslant \left( \int_E (f(x))^{1/2} \cdot \left(\dfrac{1}{x f(x)}\right)^{1/2} ~ \mathrm{d} m \right)^2 \\ & = \left( \int_E x^{-1/2} ~ \mathrm{d} m \right)^2 = \left( 2 x^{1/2} \bigg|_0^1 \right)^2 \\ & = 4.\end{split}\]

上式中等号成立当且仅当 \(f(x) = g(x) = x^{-1/2}\), a.e. \(x \in E\).

15. 设 \(p, q, r\) 为满足 \(1/p + 1/q = 1 + 1/r\) 的三个正数, 证明对任何可测函数 \(f, g, h\) 有

    \[\int_E |fgh| ~ \mathrm{d} m \leqslant \lVert f \rVert_p \lVert g \rVert_q \lVert h \rVert_r.\]

证明

令 \(\displaystyle s = \dfrac{pq}{p + q}\), 那么有 \(1/s + 1/r = 1/p + 1/ q + 1/r = 1\). 由 Hölder 不等式知

(7)\[\int_E |fgh| ~ \mathrm{d} m \leqslant \lVert fg \rVert_s \lVert h \rVert_r = \left( \int_E |fg|^s ~ \mathrm{d} m \right)^{1/s} \lVert h \rVert_r.\]

又由 \(\displaystyle \dfrac{1}{p/s} + \dfrac{1}{q/s} = 1\), 由 Hölder 不等式知

(8)\[\int_E |fg|^s ~ \mathrm{d} m \leqslant \left( \int_E \left(|f|^s\right)^{p/s} ~ \mathrm{d} m \right)^{s/p} \left( \int_E \left(|g|^s\right)^{q/s} ~ \mathrm{d} m \right)^{s/q} = \lVert f \rVert_p^s \lVert g \rVert_q^s.\]

将 (8) 代入 (7) 即得

\[\int_E |fgh| ~ \mathrm{d} m \leqslant \lVert f \rVert_p^s \lVert g \rVert_q^s \lVert h \rVert_r = \lVert f \rVert_p \lVert g \rVert_q \lVert h \rVert_r.\]

16. 设 \(f \in L^p(E)\), \(e\) 为 \(E\) 的可测子集, 证明

    \[\left( \int_E |f|^p ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p} \leqslant \left( \int_e |f|^p ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p} + \left( \int_{E \setminus e} |f|^p ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p}.\]

证明

注意到

\[\begin{split}\begin{gathered} \left( \int_e |f|^p ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p} = \left( \int_E |f|^p \chi_e ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p} = \lVert f \chi_e \rVert_p, \\ \left( \int_{E \setminus e} |f|^p ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p} = \left( \int_E |f|^p (1 - \chi_e) ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p} = \lVert f (1 - \chi_e) \rVert_p, \\ f = f \chi_e + f (1 - \chi_e), \end{gathered}\end{split}\]

于是由 Minkowski 不等式知

\[\begin{split}\left( \int_E |f|^p ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p} & = \lVert f \rVert_p \\ & \leqslant \lVert f \chi_e \rVert_p + \lVert f (1 - \chi_e) \rVert_p \\ & = \left( \int_e |f|^p ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p} + \left( \int_{E \setminus e} |f|^p ~ \mathrm{d} m \right)^{1/p}.\end{split}\]