第五章补充材料#
截止到第五章, 我们已经学习了一些收敛的概念, 它们之间的关系可以用下图总结:
上图中, \(A \xrightarrow{\color{red} \boldsymbol{\times}} B\) 表示 \(A\) 不蕴含 (不能推出) \(B\), 如果 \(\color{red} \times\) 之后有注释, 则表示在某些条件下成立, 相应的结论也可能会弱一些 (对应括号中同颜色的文字). \(A \xrightarrow{\checkmark} B\) 表示 \(A\) 蕴含 \(B\). 还有要注意的是, 讨论蕴含关系时, 都是在某个空间中进行讨论的, 例如, \(L^p\) 空间等.
几乎处处收敛但不依测度收敛的例子 (注意, 这里必须有 \(m E = \infty\)):
\[f_n(x) = \chi_{[n, n + 1]}(x), \quad n \in \mathbb{N}.\]可以验证 \(f_n(x)\) 处处收敛到 \(0\) 但不依测度收敛到 \(0\).
依测度收敛但不几乎处处收敛的例子: \(E = [0, 1]\),
(1)#\[ f_n(x) = \chi_{\left[ \frac{i}{2^k}, \frac{i + 1}{2^k} \right]}(x), \quad n = 2^k + i, \quad 0 \leqslant i < 2^k.\]可以验证 \(f_n(x)\) 依测度收敛到 \(0\) 但不几乎处处 (实际上是, 处处都不) 收敛到 \(0\).
强收敛但不几乎处处收敛的例子: (1) 中的函数序列也在 \(L^p(E)\) 中的强收敛到 \(0\).
依测度收敛但不强收敛的例子: 只要对 (1) 中的函数序列稍作修改即可:
(2)#\[f_n(x) = 2^k \chi_{\left[ \frac{i}{2^k}, \frac{i + 1}{2^k} \right]}(x), \quad n = 2^k + i, \quad 0 \leqslant i < 2^k.\]可以验证 \(f_n(x)\) 依测度收敛到 \(0\) 但不强收敛到 \(0\).
依测度收敛但不弱收敛的例子: (2) 中的函数序列也在 \(L^p(E)\) 中的依测度收敛到 \(0\), 但不弱收敛到 \(0\), 只要取 \(g(x) = 1 \in L^q(E)\) 即可.
一致收敛但不弱收敛 (也不强收敛) 的例子 (注意, 这里必须有 \(m E = \infty\)):
(3)#\[f_n(x) = \dfrac{1}{n} \chi_{[1, e^n]}(x),\]容易验证 \(f_n(x)\) 一致收敛到 \(0\). 设 \(p, q > 1\) 满足 \(\displaystyle \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1\), 则 \(f_n \in L^p(\mathbb{R})\). 取 \(\displaystyle g(x) = \dfrac{\chi_{[1, +\infty)}(x)}{x}\), 则 \(g \in L^q(\mathbb{R})\), 但是
\[\int_{\mathbb{R}} f_n(x) g(x) ~ \mathrm{d} x = \dfrac{1}{n} \int_{1}^{e^n} \dfrac{1}{x} ~ \mathrm{d} x = 1.\]因此, \(f_n\) 不弱收敛到 \(0\), 因此也不强收敛到 \(0\).
弱收敛但不一致收敛的例子: \(E = [0, 1)\),
\[f_n(x) = x^n, \quad n \in \mathbb{N}.\]容易验证 \(f_n(x) \in L^p(E)\) 且由控制收敛定理知, 对任意 \(g \in L^q(E) \subset L^1(E)\), 都有
\[\lim_{n \to \infty} \int_{E} f_n(x) g(x) ~ \mathrm{d} m = \int_{E} \lim_{n \to \infty} f_n(x) g(x) ~ \mathrm{d} m = 0.\]故 \(f_n(x)\) 弱收敛到 \(0\), 但不一致收敛到 \(0\).
弱收敛但不强收敛的例子: \(E = (0, \pi)\),
\[f_n(x) = \sin(nx), \quad n \in \mathbb{N}.\]容易验证 \(f_n(x) \in L^2(E)\). 由 Riemann-Lebesgue 引理, 对任意可积函数 (特别地, \(L^2(E)\) 中的函数) \(g(x)\), 都有 \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} f_n(x) g(x) ~ \mathrm{d} x \to 0\), 因此 \(f_n(x)\) 弱收敛到 \(0\). 但是
\[\lVert f_n \rVert_2^2 = \int_{0}^{\pi} \sin^2(nx) ~ \mathrm{d} x = \dfrac{\pi}{2},\]因此 \(f_n(x)\) 不强收敛到 \(0\). 此外, \(f_n(x)\) 也不几乎处处收敛到 \(0\).