§1 可测函数的基本性质

§1 可测函数的基本性质#

设 \(f(x), g(x)\) 为可测集 \(E\) 上的可测函数, 试证 \(E(f > g)\) 是可测集.

证明

由于 \(f(x), g(x)\) 都是可测函数, 那么 \(f - g\) 也是可测函数, 于是由可测函数定义知 \(E(f > g) = E(f - g > 0)\) 是可测集.

备注

也可以像证明 \(f - g\) 是可测函数那样, 将 \(E(f > g)\) 具体写出来:

\[E(f > g) = \bigcup_{r \in \mathbb{Q}} \left( E(f > r) \cap E(g < r) \right).\]

以上集合的可测性需要用到下一题的结论.

证明 \(f(x)\) 为 \(E\) 上可测函数的充分必要条件是: 对于任一有理数 \(r\), 集 \(E(f > r)\) 恒可测. 如果假设对任一有理数 \(r\), 集 \(E(f = r)\) 恒可测, 问 \(f(x)\) 是否可测?

证明

由本章补充材料知, 若存在 \(D\) 为 \(\mathbb{R}\) 中稠密集, 使得 \(\forall ~ \alpha \in D\), \(E(f > \alpha)\) 都是可测集, 则 \(f\) 是可测函数. 特别地, 本题中取 \(D\) 为有理数集 \(\mathbb{Q}\), 则 \(\forall ~ r \in \mathbb{Q}\), \(E(f > r)\) 都是可测集, 于是 \(f\) 是可测函数. 反过来显然.

集 \(E(f = r)\) 恒可测, 不能推出 \(f\) 是可测函数. 反例如下: 设 \(E = [0, 1]\), 集合 \(A \subset E\) 是不可测集, 函数 \(f(x) = \chi_A(x) + \alpha\), 其中 \(\alpha\) 为某个无理数, 那么任取 \(r \in \mathbb{Q}\), 有 \(E(f = r) = \emptyset\), 是可测集, 但 \(f\) 不是可测函数.

设 \(f(x)\) 是 \(E\) 上的可测函数, \(G, F\) 分别为 \(\mathbb{R}\) 中开集与闭集. 试问 \(E(f \in G)\) 与 \(E(f \in F)\) 是否可测, 这里记号 \(E(f \in A) = E(x: f(x) \in A)\).

证明

设开集 \(G \subset \mathbb{R}\) 有结构表示 \(\displaystyle G = \bigcup_{n=1}^{\infty} (a_n, b_n)\), 则

\[E(f \in G) = f^{-1}(G) = f^{-1} \left(\bigcup_{n=1}^{\infty} (a_n, b_n)\right) = \bigcup_{n=1}^{\infty} f^{-1}((a_n, b_n)) = \bigcup_{n=1}^{\infty} E(f > a_n) \cap E(f < b_n)\]

因此 \(E(f \in G)\) 是可测集.

对于闭集 \(F \subset \mathbb{R}\), 有 \(\mathbb{R} \setminus F\) 是开集, 于是

\[E(f \in F) = E(f \in \mathbb{R} \setminus (\mathbb{R} \setminus F)) = E \setminus E(f \in \mathbb{R} \setminus F)\]

是可测集.

设 \(f(x)\) 是 \((-\infty, \infty)\) 上的连续函数, \(g(x)\) 是 \([a, b]\) 上的有限可测函数, 证明 \(f(g(x))\) 是可测函数.

证明

由于 \(\mathbb{R}\) 中开集有由互不相交的开区间构成的结构表示, 而有限函数 \(h(x)\) 可测当且仅当 \(E(a < h < b)\) 对所有的开区间 \((a, b)\) 都可测, 因此 \(h(x)\) 可测当且仅当 \(E(f \in G)\) 对所有的开集 \(G \subset \mathbb{R}\) 都可测. 由于 \(f(x)\) 是连续函数, 因此 \(f^{-1}(G)\) 是开集, 那么

\[E(f \circ g \in G) = E(g \in f^{-1}(G)) = E(g \in f^{-1}(G))\]

是可测集, 即 \(f \circ g\) 是可测函数.

设 \(f(x)\) 是可测集 \(E\) 上的可测函数, \(B\) 是 \(\mathbb{R}\) 中的 Borel 集. 试证 \(f^{-1}(B)\) 是可测集. 又当 \(B\) 是任意可测集时, \(f^{-1}(B)\) 是否可测?

证明

记 \(\mathscr{B}\) 为 \(\mathbb{R}\) 中的 Borel 集族, 那么它是由半开闭区间组成的集族生成的 \(\sigma\)-代数:

\[\mathscr{B} = \mathscr{R}_{\sigma} (\mathscr{S}), \quad \mathscr{S} \left\{ [a, b) : a < b \in \mathbb{R} \right\}.\]

由上一章第 37 题知

\[f^{-1}(\mathscr{B}) = f^{-1}(\mathscr{R}_{\sigma} (\mathscr{S})) = \mathscr{R}_{\sigma} (f^{-1}(\mathscr{S})).\]

对任意半开闭区间 \([a, b)\), 有 \(f^{-1}([a, b)) = E(a \leqslant f < b)\), 是可测集. 由于 \(\mathbb{R}\) 中的可测集族 \(\mathscr{M}\) 是 \(\sigma\)-代数, 因此有

\[\mathscr{M} \supset \mathscr{R}_{\sigma} (f^{-1}(\mathscr{S})) = f^{-1}(\mathscr{B}).\]

因此对于 \(B \in \mathscr{B}\), 有 \(f^{-1}(B) \in \mathscr{M}\), 是可测集.

当 \(B\) 是任意可测集时, \(f^{-1}(B)\) 不一定是可测集. 反例如下: 设 \(E = [0, 1]\), 令 \(\Phi\) 为 Cantor 函数 (见第一章补充材料), 并令 \(\displaystyle \Psi(x) = \dfrac{1}{2} (\Phi(x) + x)\), 那么 \(\Psi(x)\) 是 \(E \to E\) 的连续, 严格递增的双射, 从而有逆映射 \(f = \Psi^{-1}\). \(f\) 也是是 \(E \to E\) 的连续, 严格递增的函数, 从而是可测的.

记 Cantor 三分集为 \(P_0\), 它的补集为 \(G_0\), 那么 Cantor 函数 \(\Phi\) 在 \(G_0\) 的每个构成区间上是常值函数, 于是 \(\Psi\) 在 \(G_0\) 的每个构成区间上是线性函数, 每个构成区间在 \(\Psi\) 下的像是一个开区间, 长度为原区间的一半, 因此 \(\Psi(G_0)\) 是测度为 \(1/2\) 的开集, \(\Psi(G_0)\) 的补集 \(\Psi(P_0)\) 是测度为 \(1/2\) 的闭集. 令 \(W \subset \Psi(P_0)\) 为不可测集, 并取 \(B = \Psi^{-1}(W) \subset P_0\) 为零测集, 那么 \(B\) 是可测集. 但 \(f^{-1}(B) = \Psi(B) = W\) 是不可测集.

试在 \(\mathbb{R}\) 上定义一个实函数, 使它在每个区间上的限制均不可测.

解

令 \(E = \mathbb{R} / \mathbb{Q}\) 为 \(\mathbb{R}\) 中等价关系

\[x \sim y \Longleftrightarrow x - y \in \mathbb{Q}, \quad x, y \in \mathbb{R},\]

的每个等价类中代表元素的集合. 之前已经证明过, \(E\) 是不可测集, 并且可以选取 \(E\), 使得它与每个区间的交集都是不可测集 (从而在 \(\mathbb{R}\) 中稠密). 令 \(f = \chi_E\) 为 \(\mathbb{R}\) 上的特征函数, 那么 \(f\) 在每个区间上的限制都是不可测函数.

设 \(x \in [0, 1)\) 的三进表示为 \(x = 0.x_1 x_2 \cdots x_n \cdots\), \(x_n \in \{0, 1, 2\}\), 并约定全用无限表示. 用 \(P_i\) 表示 \(x\) 的三进表示中不出现数字 \(i\) 的点集, \(i = 0, 1, 2\). 令

\[\begin{split}f(x) = \begin{cases} x + i, & x \in P_i, i = 0, 1, 2, \\ x + 3, & x \in [0, 1) \setminus \cup_{i=0}^2 P_i, \end{cases}\end{split}\]

并规定 \(f(0) = 3, f(1/2) = 7/2\). 问 \(f(x)\) 是否可测, 是否连续?

解

对每一个自然数 \(n\), 将 \((0, 1)\) 开区间分成 \(3^n\) 个等长的开区间, 依顺序记为 \(I_{n, k} = \left(\dfrac{k}{3^n}, \dfrac{k+1}{3^n}\right)\), \(k = 0, 1, \cdots, 3^n - 1\). 那么

\[x \in I_{n, k} \Longrightarrow x \text{ 的三进表示中第 } n \text{ 位数字为 } k \mod{3}.\]

同时, 除 \(0, 1\) 以外, 这些区间的端点为 \(1/3^n, 2/3^n, \cdots, (3^n - 1)/3^n\), 相应的无限三进表示分别为

\[0.\cdots 0 2 2 \cdots, 0.\cdots 1 2 2 \cdots, 0.\cdots 2 2 2 \cdots, \cdots\]

因此有 (不交并表示）

\[P_i = P_i^{(0)} \cup Z_i,\]

其中

\[P_i^{(0)} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \left( \bigcup_{k \not\equiv i \mod{3}} I_{n, k} \right),\]

\(Z_i \subset C\) 是 Cantor 三分集 \(C\) 的子集, 为零测集. 因此 \(P_i\) 都是可测集. 我们还可以将 \(P_i\) 表示为

\[P_i = \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} \left( \bigcup_{k \not\equiv i \mod{3}} I_{n, k}^{(i)} \right) \right) \setminus E_i,\]

其中

\[\begin{split}& I_{n, k}^{(2)} = I_{n, k}, \quad E_i = \emptyset, \\ & I_{n, k}^{(1)} = I_{n, k} \cup \left\{ \dfrac{k+1}{3^n} \right\} = \left( \dfrac{k}{3^n}, \dfrac{k+1}{3^n} \right], \quad E_1 = \left\{ 1 \right\}, \\ & I_{n, k}^{(0)} = I_{n, k} \cup \left\{ \dfrac{k}{3^n} \right\} = \left[ \dfrac{k}{3^n}, \dfrac{k+1}{3^n} \right), \quad E_0 = \left\{ 0 \right\}.\end{split}\]

注意到 \(P_i\) 的交可能非空, 事实上有

\[\begin{split}P_0 \cap P_1 & = Z_0 \cap Z_1 = \{0.222\cdots\} = \{1\} \not\subset [0, 1), \text{因此 } P_0 \cap P_1 = \emptyset, \\ P_1 \cap P_2 & = Z_1 \cap Z_2 =\{0.000\cdots\} = \{0\}, \\ P_2 \cap P_0 & = Z_2 \cap Z_0 = \{0.111\cdots\} = \{1/2\}.\end{split}\]

因此需要如题干中所述对 \(f(x)\) 进行特殊定义. 同时, 易知

\[f(P_0) \subset [0, 1], f(P_1) \subset [1, 2], f(P_2) \subset [2, 3], f \left( [0, 1) \setminus \bigcup_{i=0}^2 P_i \right) \subset [3, 4].\]

于是有

\[\begin{split}E(f > \alpha) = \begin{cases} \emptyset, & \alpha > 4, \\ (\alpha - 3, +\infty) \cap ([0, 1) \setminus \cup_{i=0}^2 P_i), & 3 < \alpha \leqslant 4, \\ (\alpha - 2, +\infty) \cap P_2, & 2 < \alpha \leqslant 3, \\ P_2 \cup ((\alpha - 1, +\infty) \cap P_1), & 1 < \alpha \leqslant 2, \\ P_2 \cup P_1 \cup ((\alpha, +\infty) \cap P_0), & 0 < \alpha \leqslant 1, \\ [0, 1), & \alpha \leqslant 0. \end{cases}\end{split}\]

以上集合都是可测集, 因此 \(f(x)\) 是可测函数.

函数 \(f(x)\) 在 \([0, 1)\) 上不连续. 事实上, 任取 \(\displaystyle x \in \left( \bigcup_{i=0}^2 P_i \right) \setminus \left\{ 0, \dfrac{1}{2} \right\}\). 对任意 \(0 < \varepsilon < \dfrac{1}{2}\), 取 \(n \in \mathbb{N}\) 使得 \(3^{-n} < \varepsilon\), 将 \(x\) 的三进表示中第 \(n + 1\) 至 \(n + 3\) 位数字改为 \(012\), 记得到的数为 \(x'\), 则 \(x' \not \in \bigcup_{i=0}^2 P_i\), 且 \(\lvert x - x' \rvert < 3^{-n} < \varepsilon\), 但同时有

\[\lvert f(x') - f(x) \rvert = \lvert x' + 3 - x - i \rvert \geqslant 3 - i - \lvert x' - x \rvert \geqslant \dfrac{5}{2} - i > \dfrac{1}{2} > \varepsilon.\]

上式中 \(i \in \{0, 1, 2\}\) 为 \(x\) 所属集合 \(P_i\) 的下标. 因此 \(f(x)\) 在 \([0, 1)\) 上不连续.

设 \(f(x, y)\) 为定义在 \(\mathbb{R}^2\) 上的几乎处处有限的函数, 它对每个固定的 \(x\) 关于 \(y\) 连续, 且对每个固定的 \(y\) 关于 \(x\) 也连续. 试证 \(f(x, y)\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 上的可测函数.

证明

对每个自然数 \(n \in \mathbb{N}\), 令

\[f_n(x, y) = f \left( \dfrac{[nx]}{n}, y \right),\]

其中 \([nx]\) 表示 \(nx\) 的整数部分.

首先, 证明每个 \(f_n(x, y)\) 都是可测函数: \(\forall ~ \alpha \in \mathbb{R}\), 有

\[\begin{split}E(f_n > \alpha) & = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : f_n(x, y) > \alpha \right\} = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2: f \left( \dfrac{[nx]}{n}, y \right) > \alpha \right\} \\ & = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[ \dfrac{k}{n}, \dfrac{k+1}{n} \right) \times \left\{ y \in \mathbb{R}: f \left( \dfrac{k}{n}, y \right) > \alpha \right\},\end{split}\]

由于 \(f(x, y)\) 对每个固定的 \(x\) 关于 \(y\) 连续, 那么集合 \(\left\{ y \in \mathbb{R}: f \left( \dfrac{k}{n}, y \right) > \alpha \right\}\) 是开集, 因此 \(E(f_n > \alpha)\) 是可测集, 于是 \(f_n(x, y)\) 是可测函数.

其次, 证明 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x, y) = f(x, y)\). 事实上, 由于 \(f(x, y)\) 对每个固定的 \(y\) 关于 \(x\) 连续, 因此 \(\forall ~ \varepsilon > 0\), 存在 \(\delta > 0\), 使得 \(\forall ~ x' \in \mathbb{R}\), 当 \(\lvert x' - x \rvert < \delta\) 时, 有 \(\lvert f(x', y) - f(x, y) \rvert < \varepsilon\). 又由于

\[\lim_n \dfrac{[nx]}{n} = x\]

对任意 \(x \in \mathbb{R}\) 成立, 那么对取好的 \(\delta > 0\), 存在 \(N \in \mathbb{N}\), 使得 \(\forall ~ n > N\), 有 \(\left\lvert \dfrac{[nx]}{n} - x \right\rvert < \delta\). 于是有

\[\lvert f_n(x, y) - f(x, y) \rvert = \left\lvert f \left( \dfrac{[nx]}{n}, y \right) - f(x, y) \right\rvert < \varepsilon, \forall ~ n > N.\]

这就证明了 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x, y) = f(x, y)\) 对所有的 \((x, y) \in \mathbb{R}^2\) 成立. 根据可测函数列的性质, \(\displaystyle f = \lim_n f_n\) 也是可测函数.