§2 可测函数列的收敛性

13. 试给出关于可测函数列当极限函数为无穷大情形的相应 Egorov 定理的陈述并加以证明.

解

可测函数列当极限函数为无穷大情形的相应 Egorov 定理:

设 \(E\) 是可测集, \(m E < \infty\), \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上几乎处处有限的可测函数列, 且 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \infty\) 几乎处处成立, 那么对于任意给定的 \(\delta > 0\), 存在可测集 \(E_\delta \subset E\) 使得 \(m (E \setminus E_\delta) < \delta\), 且 \(\{f_n\}\) 在 \(E_\delta\) 上一致收敛于 \(\infty\).

相应的证明:

考虑可测函数列 \(g_n = \dfrac{\lvert f_n \rvert}{1 + \lvert f_n \rvert}\), 那么 \(\{g_n\}\) 是 \(E\) 上处处有限的可测函数列, 而且 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} g_n(x) = 1\) 几乎处处成立. 由 Egorov 定理, 对于任意给定的 \(\delta > 0\), 存在可测集 \(E_\delta \subset E\) 使得 \(m (E \setminus E_\delta) < \delta\), 且 \(\{g_n\}\) 在 \(E_\delta\) 上一致收敛于 \(1\). 也就是说, 对任意 \(\varepsilon > 0\), 存在自然数 \(N (\varepsilon) \in \mathbb{N}\), 使得当 \(n > N (\varepsilon)\) 时, 有 \(0 < 1 - g_n(x) < \varepsilon, \forall ~ x \in E_\delta\). 由于 \(g_n(x) = \dfrac{\lvert f_n(x) \rvert}{1 + \lvert f_n(x) \rvert}\), 所以对任意 \(n > N (\varepsilon)\) 以及任意的 \(x \in E_\delta\), 有

\[\dfrac{1}{1 + \lvert f_n(x) \rvert} = \dfrac{1 + \lvert f_n(x) \rvert - \lvert f_n(x) \rvert}{1 + \lvert f_n(x) \rvert} = 1 - g_n(x) < \varepsilon.\]

这等价于

\[\lvert f_n(x) \rvert > \dfrac{1}{\varepsilon} - 1,\]

这意味着 \(\{f_n\}\) 在 \(E_\delta\) 上一致收敛于 \(\infty\).

14. 设 \(x \in [0, 1)\), 其二进表示为 \(\displaystyle x = \sum_{i=1}^\infty \frac{x_i}{2^i}\), \(x_i \in \{0, 1\}\), 并约定用有尽表示. 定义函数 \(\displaystyle \varphi (x) = \sum_{i=1}^\infty \frac{2x_i}{3^i}\), 再取 \([0, 1)\) 的一不可测子集 \(E\), 并在 \(\mathbb{R}\) 上定义函数

    \[\begin{split}\psi (x) = \begin{cases} 1, & x \in \varphi (E), \\ 0, & \text{其余情形}. \end{cases}\end{split}\]

    试证 \(\varphi, \psi\) 均可测, 但 \(\psi \circ \varphi\) 不可测.

证明

设 \(\displaystyle x = \sum_{i=1}^\infty \frac{x_i}{2^i}, y = \sum_{i=1}^\infty \frac{y_i}{2^i} \in [0, 1)\), 其中 \(x_i, y_i \in \{0, 1\}\), 且都是有尽表示. 假设 \(x < y\), 那么存在 \(k_0 \in \mathbb{N}\), 使得 \(x_{k_0} = 0, y_{k_0} = 1\), 并且要么 \(k_0 = 1\), 要么 \(k_0 > 1\) 且 \(x_k = y_k, \forall ~ 1 \leqslant k < k_0\). 于是有

\[\varphi (x) = \sum_{i=1}^\infty \frac{2x_i}{3^i} < \sum_{i=1}^\infty \frac{2y_i}{3^i} = \varphi (y).\]

所以 \(\varphi\) 是严格单调递增的, 为单射, 并且其值域为 Cantor 三分集 \(P_0\). 记 \(I = [0, 1)\), 那么对于 \(\alpha \in \mathbb{R}\) 有

\[\begin{split}I (\varphi > \alpha) = \begin{cases} \emptyset, & \alpha \geqslant 1, \\ (\varphi^{-1} (\alpha), 1), & \alpha \in P_0, \\ [\varphi^{-1} (\beta), 1), & \alpha \in I \setminus P_0, \beta = \inf \{ x \in P_0 : x > \alpha \}, \\ I, & \alpha < 0. \end{cases}\end{split}\]

以上都是可测集, 因此 \(\varphi\) 是可测函数. 事实上, 若 \(\alpha \in I \setminus P_0 = G_0\), 那么 \(\alpha\) 落入开集 \(G_0\) 的某个构成区间 \(I_{n, k} = (a, b)\), 上式中的 \(\beta\) 即为 \(I_{n, k}\) 的右端点 \(b\).

\(\forall ~ \alpha \in \mathbb{R}\), 对于函数 \(\psi\) 有

\[\begin{split}I (\psi > \alpha) = \begin{cases} \emptyset, & \alpha \geqslant 1, \\ \varphi (E), & \alpha \in [0, 1), \\ \mathbb{R}, & \alpha < 0. \end{cases}\end{split}\]

由于 \(P_0\) 是零测集, 而 \(\varphi (E) \subset P_0\), 所以 \(\varphi (E)\) 也是零测集, 从而可测. 于是 \(\psi\) 是可测函数.

对于 \(\psi \circ \varphi\) 来说, 取 \(\alpha \in [0, 1)\) 有

\[I (\psi \circ \varphi > \alpha) = \left\{ x \in [0, 1) : \psi (\varphi (x)) > \alpha \right\} = \left\{ x \in [0, 1) : \varphi (x) \in \varphi (E) \right\} = E,\]

为不可测集, 因此 \(\psi \circ \varphi\) 不可测.

15. 设 \(\{E_n\}\) 为可测集列, \(\displaystyle E = \bigcup_{n=1}^\infty E_n\), 试证 \(f\) 在 \(E\) 上可测的充分必要条件是 \(f\) 限制在每个 \(E_n\) 上均可测, \(n \in \mathbb{N}\).

证明

由于有

\[E(f > \alpha) = E \cap f^{-1} (\alpha, \infty) = \bigcup_{n=1}^\infty E_n \cap f^{-1} (\alpha, \infty) = \bigcup_{n=1}^\infty E_n (f > \alpha),\]

所以若每个 \(E_n\) 上 \(f\) 可测, 即 \(E_n (f > \alpha)\) 可测, 那么 \(E(f > \alpha)\) 可测.

另一方面, 若 \(E(f > \alpha)\) 可测, 那么对于任意的 \(n \in \mathbb{N}\), 由于 \(E_n \subset E\), 有

\[E_n (f > \alpha) = E_n \cap f^{-1} (\alpha, \infty) = E_n \cap f^{-1} (\alpha, \infty) \cap E = E_n \cap E (f > \alpha),\]

从而可知 \(f\) 限制在每个 \(E_n\) 上均可测.

16. 设函数列 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在有界集 \(E\) 上近一致收敛于 \(f\), 试证 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 几乎处处收敛于 \(f\).

证明

由于 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在有界集 \(E\) 上近一致收敛于 \(f\), 那么对于任意给定的 \(k \in \mathbb{N}\), 存在有界集 \(E_k \subset E\) 使得 \(m (E \setminus E_k) < \dfrac{1}{k}\), 且 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在 \(E_k\) 上一致收敛于 \(f\). 取 \(\displaystyle E^* = \bigcup_{k=1}^\infty E_k\), 那么 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在 \(E^*\) 上处处收敛于 \(f\), 且有

\[m (E \setminus E^*) = m \left( \bigcap_{k=1}^\infty (E \setminus E_k) \right) \leqslant m (E \setminus E_k) < \dfrac{1}{k},\]

对所有的 \(k \in \mathbb{N}\) 都成立, 从而必有 \(m (E \setminus E^*) = 0\), 即 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 几乎处处收敛于 \(f\).

17. 设函数列 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在 \(E\) 上依测度收敛于 \(f\), 且在 \(E\) 上几乎处处有 \(f_n \leqslant g\), \(n \in \mathbb{N}\). 试证在 \(E\) 上几乎处处有 \(f \leqslant g\).

证明

令 \(E_n = E (f_n > g), n \in \mathbb{N},\) 由于在 \(E\) 上几乎处处有 \(f_n \leqslant g\), 所以 \(m E_n = 0\). 令 \(\displaystyle E_0 = \bigcup_{n=1}^\infty E_n\), 那么 \(m E_0 = 0\). 于是, 在 \(\widetilde{E} = E \setminus E_0\) 上, 对于任意的 \(x \in \widetilde{E}\), 有 \(f_n(x) \leqslant g(x), \forall ~ n \in \mathbb{N}\), 且函数列 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在 \(\widetilde{E}\) 上也依测度收敛于 \(f\). 我们有

\[\widetilde{E} (f > g) = \bigcup_{k=1}^\infty \widetilde{E} \left( f - g \geqslant \dfrac{1}{k} \right).\]

由于 \(\left\{ \widetilde{E} \left( f - g > \dfrac{1}{k} \right) \right\}_{k \in \mathbb{N}}\) 构成了渐张可测集列, 因此

\[m \widetilde{E} (f > g) = m \left( \bigcup_{k=1}^\infty \widetilde{E} \left( f - g \geqslant \dfrac{1}{k} \right) \right) = \lim_{k \to \infty} m \widetilde{E} \left( f - g \geqslant \dfrac{1}{k} \right).\]

由于 \(f - g = (f - f_n) + (f_n - g)\), 所以 \(\forall ~ n \in \mathbb{N}\) 有

\[\widetilde{E} \left( f \geqslant g + \dfrac{1}{k} \right) \subset \widetilde{E} \left( f - f_n \geqslant \dfrac{1}{k} \right) \subset \widetilde{E} \left( \lvert f - f_n \rvert > \dfrac{1}{k} \right),\]

从而有

\[m \widetilde{E} \left( f \geqslant g + \dfrac{1}{k} \right) \leqslant \inf_{n \in \mathbb{N}} m \widetilde{E} \left( \lvert f - f_n \rvert > \dfrac{1}{k} \right).\]

另一方面, 由于函数列 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在 \(\widetilde{E}\) 上依测度收敛于 \(f\), 那么对于任意给定的 \(k \in \mathbb{N}\) 有

\[\lim_{n \to \infty} m \widetilde{E} \left( \lvert f_n - f \rvert > \dfrac{1}{k} \right) = 0,\]

因此, \(m \widetilde{E} \left( f \geqslant g + \dfrac{1}{k} \right) = 0, \forall ~ k \in \mathbb{N}\), 从而有

\[m \widetilde{E} (f > g) = \lim_{k \to \infty} m \widetilde{E} \left( f - g \geqslant \dfrac{1}{k} \right) = 0,\]

以及

\[0 \leqslant m E (f > g) \leqslant m (E_0 \cup \widetilde{E} (f > g)) = m E_0 + m \widetilde{E} (f > g) = 0.\]

最终我们有 \(m E (f > g) = 0\), 即 \(f \leqslant g\) 几乎处处成立.

备注

这题可以用 Riesz 定理简化证明: 由于 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在 \(E\) 上依测度收敛于 \(f\), 那么存在子列 \(\{f_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}}\) 几乎处处收敛于 \(f\), 记此集合为 \(E_1\), 有 \(m (E \setminus E_1) = 0\). 又由于几乎处处有 \(f_n \leqslant g\), \(n \in \mathbb{N}\), 记此集合为 \(E_2\), 有 \(m (E \setminus E_2) = 0\). 于是, 取 \(E^* = E_1 \cap E_2\), 有 \(m (E \setminus E^*) = 0\), 那么在任意 \(x \in E^*\) 处, 有 \(f_{n_k} (x) \to f(x)\), 且 \(f_{n_k}(x) \leqslant g(x)\), 从而 \(f(x) \leqslant g(x)\). 所以, \(f \leqslant g\) 几乎处处成立.

18. 设函数列 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在 \(E\) 上依测度收敛于 \(f\), 且几乎处处有 \(f_n \leqslant f_{n+1}\), \(n \in \mathbb{N}\), 证明 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 几乎处处收敛于 \(f\).

证明

由 Riesz 定理, 存在 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 的子列 \(\{f_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}}\) 几乎处处收敛于 \(f\), 记此集合为 \(E_1\), 有 \(m (E \setminus E_1) = 0\). 又由于几乎处处有 \(f_n \leqslant f_{n+1}\), \(n \in \mathbb{N}\), 记此集合为 \(E_2\), 有 \(m (E \setminus E_2) = 0\). 于是, 取 \(E^* = E_1 \cap E_2\), 有 \(m (E \setminus E^*) = 0\). 那么在任意 \(x \in E^*\) 处, 有 \(f_{n_k} (x) \to f(x)\). 由于 \(\{f_n(x)\}_{n \in \mathbb{N}}\) 是单调递增的, 其子列 \(\{f_{n_k}(x)\}_{k \in \mathbb{N}}\) 也是单调递增的. 若 \(f(x) = \infty\), 那么对于任意的 \(M > 0\), 存在 \(K \in \mathbb{N}\), 使得 \(f_{n_k}(x) > M, \forall ~ k \geqslant K\), 从而对任意的 \(n \geqslant n_K\), 有 \(f_n(x) \geqslant f_{n_K}(x) > M\), 这表明 \(f_n(x) \to \infty = f(x)\). 若 \(f(x) \in \mathbb{R}\), 那么 \(f(x)\) 是数列 \(\{f_n(x)\}_{n \in \mathbb{N}}\) 的一个上界, 从而由单调有界定理, 有 \(f_n(x) \to f(x)\). 综上所述, \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 几乎处处 (在集合 \(E^*\) 上) 收敛于 \(f\).

备注

注意, 虽然 Riesz 定理中要求了 \(m E < \infty\), 但是在这里, 本题的证明仅使用了 Riesz 定理中, 由依测度收敛推存在几乎处处收敛子列的结论, 这部分是不需要 \(m E < \infty\) 的条件的.

19. 设函数列 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在 \(E\) 上依测度收敛于 \(f\), 而 \(f_n \sim g_n\), \(n \in \mathbb{N}\), 证明 \(\{g_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 也在 \(E\) 上依测度收敛于 \(f\).

证明

依定义, 由于函数列 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在 \(E\) 上依测度收敛于 \(f\), 那么对于任意 \(\varepsilon > 0\),

\[\lim_{n \to \infty} m (E (\lvert f_n - f \rvert > \varepsilon)) = 0.\]

由于 \(f_n \sim g_n\), \(n \in \mathbb{N}\), 那么 \(E_n := E (f_n \neq g_n)\) 是零测集. 令

\[E_0 = E \setminus \bigcup_{n=1}^\infty E_n,\]

那么有 \(m (E \setminus E_0) = 0\), 并且在 \(E_0\) 上有 \(f_n = g_n\), \(n \in \mathbb{N}\). 于是有

\[\begin{split}m (E (\lvert g_n - f \rvert > \varepsilon)) & \leqslant m (E_0 (\lvert f_n - f \rvert > \varepsilon)) + m (E \setminus E_0) \\ & = m (E_0 (\lvert f_n - f \rvert > \varepsilon)) \\ & \leqslant m (E (\lvert f_n - f \rvert > \varepsilon)).\end{split}\]

对上式取极限 \(n \to \infty\), 有

\[\lim_{n \to \infty} m (E (\lvert g_n - f \rvert > \varepsilon)) \leqslant \lim_{n \to \infty} m (E (\lvert f_n - f \rvert > \varepsilon)) = 0,\]

从而有 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} m (E (\lvert g_n - f \rvert > \varepsilon)) = 0\), 即 \(\{g_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在 \(E\) 上依测度收敛于 \(f\).

备注

以下是原答案, 适用于 \(m E < \infty\) 的情形. 这是由于 Riesz 定理中, 由任意子列存在几乎处处收敛子列而推出原序列依测度收敛的结论, \(m E < \infty\) 这一条件是必不可少的.

由 Riesz 定理, 对 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 的任意子列 \(\{f_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}}\), 存在其子列 \(\{f_{n_{k_i}}\}_{i \in \mathbb{N}}\), 使得 \(f_{n_{k_i}} \to f\) 几乎处处成立, 记此集合为 \(E_1\), 有 \(m (E \setminus E_1) = 0\). 又由于 \(f_n \sim g_n\), \(n \in \mathbb{N}\), 记此集合为 \(E_2\), 有 \(m (E \setminus E_2) = 0\). 于是, 取 \(E^* = E_1 \cap E_2\), 有 \(m (E \setminus E^*) = 0\). 那么在任意 \(x \in E^*\) 处, 有 \(f_{n_{k_i}}(x) \to f(x)\), 且 \(f_{n_{k_i}}(x) = g_{n_{k_i}}(x)\), 从而 \(g_{n_{k_i}}(x) \to f(x)\). 所以, 对 \(\{g_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 的任意子列 \(\{g_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}}\), 我们找到了它的子列 \(\{g_{n_{k_i}}\}_{i \in \mathbb{N}}\), 使得 \(g_{n_{k_i}} \to f\) 几乎处处成立. 由 Riesz 定理, \(\{g_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在 \(E\) 上依测度收敛于 \(f\).

20. 设 \(m E < \infty\), 在 \(E\) 上几乎处处有限的可测函数列 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 与 \(\{g_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 分别依测度收敛于 \(f\) 与 \(g\). 试证 \(\{f_n \cdot g_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 依测度收敛于 \(f \cdot g\).

证明

采用 Riesz 定理, 很容易验证 \(\{f_n^2\}_{n \in \mathbb{N}}\), \(\{g_n^2\}_{n \in \mathbb{N}}\) 分别依测度收敛于 \(f^2\), \(g^2\). (证明方法与 本章第 18 题 以及 本章第 19 题 类似)

由依测度收敛的定义, 对任意 \(\varepsilon > 0\) 有

\[\begin{split}& \lim_{n \to \infty} m (E (\lvert f_n - f \rvert > \varepsilon)) = 0, \\ & \lim_{n \to \infty} m (E (\lvert g_n - g \rvert > \varepsilon)) = 0.\end{split}\]

由三角不等式

\[\lvert f_n + g_n - f - g \rvert \leqslant \lvert f_n - f \rvert + \lvert g_n - g \rvert\]

可知 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} m (E (\lvert f_n + g_n - f - g \rvert > 2 \varepsilon)) = 0\), 即有 \(\{f_n + g_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 依测度收敛于 \(f + g\). 进一步由 Riesz 定理有 \(\{(f_n + g_n)^2\}_{n \in \mathbb{N}}\) 依测度收敛于 \((f + g)^2\).

由于有恒等式

\[f_n \cdot g_n = \dfrac{1}{4} \left( (f_n + g_n)^2 - f_n^2 - g_n^2 \right),\]

以及已证明的 \(\{f_n^2\}_{n \in \mathbb{N}}\), \(\{g_n^2\}_{n \in \mathbb{N}}\), \(\{(f_n + g_n)^2\}_{n \in \mathbb{N}}\) 分别依测度收敛于 \(f^2\), \(g^2\), \((f + g)^2\), 从而有 \(\{f_n \cdot g_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 依测度收敛于 \(f \cdot g\).

21. 试构造 \([0, 1]\) 上的连续函数列 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\), 使满足 (i) \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在 \([0, 1]\) 上几乎处处收敛于 \(0\), 但 (ii) \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在任何子区间上不一致收敛于 \(0\).

解

令 \(A = \{ r_1, r_2, \cdots \} = \mathbb{Q} \cap [0, 1]\) 是 \([0, 1]\) 区间内的有理数之集. 取 \(\delta = \dfrac{1}{2}\), 对于每个 \(r_k \in A\), 取

\[\begin{split}I_k & = (a_k, b_k) = \left( r_k - \dfrac{\delta}{2^{k+1}}, r_k + \dfrac{\delta}{2^{k+1}} \right), \\ d_k & = \dfrac{\lvert I_k \rvert}{2} = \dfrac{\delta}{2^{k+1}}.\end{split}\]

对 \(r \in A\), 约定 \(q(r)\) 表示 \(r\) 的既约分数表示的分母. 对每个 \(t \in \mathbb{N}\), 令

\[\begin{split}\varphi_{k, t} (x) = \begin{cases} \dfrac{1}{q(r_k)} \cdot \left( 1 - \dfrac{2^{t+1}}{d_k} \lvert x - r_k \rvert \right), & x \in \left[ r_k - \dfrac{d_k}{2^{t+1}}, r_k + \dfrac{d_k}{2^{t+1}} \right], \\ 0, & \text{其余情形}. \end{cases}\end{split}\]

通过如下的一一对应 \(\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}\):

\[s: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}, \quad (k, t) \mapsto \dfrac{(k + t - 2)(k + t - 1)}{2} + k,\]

令 \(n = s(k, t)\), 以及 \(f_n = \varphi_{k, t}\), 那么 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 是 \([0, 1]\) 上的连续函数列.

首先, \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在 \([0, 1]\) 上几乎处处收敛于 \(0\). 事实上, 对于任意给定的 \(x \in [0, 1] \setminus A\), 任取 \(\varepsilon > 0\), 取 \(q_0 \in \mathbb{N}\), 使得 \(\dfrac{1}{q_0} < \varepsilon\), 令

\[k_0 = \min \left\{ k \in \mathbb{N} : q(r_k) \geqslant q_0 \right\},\]

那么对任意 \(k > k_0, t \in \mathbb{N}\), 有 \(q(r_k) \geqslant q_0\), 从而 \(\varphi_{k, t} (x) < \varepsilon\). 对于 \(k \leqslant k_0\), 令

\[\begin{split}d & = \min \left\{ \lvert x - r_k \rvert : k \leqslant k_0 \right\} > 0, \\ t_0 & = \min \left\{ t \in \mathbb{N} : \dfrac{d_k}{2^{t+1}} < \dfrac{d}{2}, ~ \forall ~ k \leqslant k_0 \right\},\end{split}\]

那么对任意 \(t > t_0, k \leqslant k_0\), 有 \(\varphi_{k, t} (x) = 0 < \varepsilon\). 因此取

\[N_0 = s(k_0 + 1, t_0 + 1) = \dfrac{(k_0 + t_0 + 1)(k_0 + t_0 + 2)}{2} + k_0 + 1,\]

必有 \(f_n (x) < \varepsilon, \forall ~ n > N_0\). 这就证明了在 \([0, 1]\) 区间的所有无理点上, 有 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n (x) = 0\), 即 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在 \([0, 1]\) 上几乎处处收敛于 \(0\).

其次, \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在任何子区间上不一致收敛于 \(0\). 事实上, \([0, 1]\) 区间的任何子区间都包含有理数, 设其中一个为 \(r_{k_0}\), 那么对于任意的 \(t \in \mathbb{N}\), 有 \(f_{s(k_0, t)} (r_{k_0}) = \dfrac{1}{q(r_{k_0})}\), 从而 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 在 \([0, 1]\) 区间的任何子区间上都不一致收敛于 \(0\).

22. 设 \(f, f_n (n \in \mathbb{N})\) 是定义在区间 \(E = [a, b]\) 上的实函数, \(r\) 为自然数, 用记号 \(E(\lvert f_n - f \rvert \leqslant 1 / r)\) 表示 \(E\) 中满足 \(\lvert f_n (x) - f (x) \rvert \leqslant 1 / r\) 的点所成的集. 试证集 \(\displaystyle \bigcap_{r=1}^\infty \varliminf\limits_{n} E(\lvert f_n - f \rvert \leqslant 1 / r)\) 是 \(E\) 中使 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 收敛于 \(f\) (当 \(n \to \infty\)) 的点集.

证明

\(E\) 中使 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 收敛于 \(f\) (当 \(n \to \infty\)) 的点集为

\[A = \{ x \in E : \forall ~ \varepsilon > 0, \exists ~ N (x, \varepsilon) \in \mathbb{N}, \forall ~ n > N (x, \varepsilon), \lvert f_n (x) - f(x) \rvert < \varepsilon \}.\]

任取 \(x \in A\), 那么 \(\forall ~ \varepsilon > 0\), 存在 \(N (x, \varepsilon) \in \mathbb{N}\), 使得 \(\forall ~ n > N (x, \varepsilon)\) 有 \(\lvert f_n (x) - f(x) \rvert < \varepsilon\). 特别地, 对每个自然数 \(r \in \mathbb{N}\), 取 \(\varepsilon = \dfrac{1}{2r}\), 那么 \(x \in E (\lvert f_n - f \rvert \leqslant 1 / r), \forall ~ n > N (x, \varepsilon)\), 从而知 \(\displaystyle x \in \bigcap_{n=N (x, \varepsilon)+1}^\infty E(\lvert f_n - f \rvert \leqslant 1 / r)\), 因此

\[x \in \varliminf\limits_{n} E(\lvert f_n - f \rvert \leqslant 1 / r) = \bigcup_{k=1}^\infty \bigcap_{n=k}^\infty E(\lvert f_n - f \rvert \leqslant 1 / r).\]

由于上式对任意的 \(r \in \mathbb{N}\) 都成立, 因此

\[x \in \bigcap_{r=1}^\infty \varliminf\limits_{n} E(\lvert f_n - f \rvert \leqslant 1 / r).\]

因此 \(\displaystyle A \subset \bigcap_{r=1}^\infty \varliminf\limits_{n} E(\lvert f_n - f \rvert \leqslant 1 / r)\).

反过来, 任取 \(\displaystyle x \in \bigcap_{r=1}^\infty \varliminf\limits_{n} E(\lvert f_n - f \rvert \leqslant 1 / r)\), 那么 \(\forall ~ r \in \mathbb{N}\), 有 \(x \in \varliminf\limits_{n} E(\lvert f_n - f \rvert \leqslant 1 / r)\). 这表明, 对每个自然数 \(r \in \mathbb{N}\), 存在自然数 \(N (x, r) \in \mathbb{N}\), 使得 \(\forall ~ n > N (x, r)\), 有 \(x \in E(\lvert f_n - f \rvert \leqslant 1 / r)\). 对任取的 \(\varepsilon > 0\), 取 \(r = \left\lceil \dfrac{1}{\varepsilon} \right\rceil\), 那么 \(\dfrac{1}{r} < \varepsilon\), 于是 \(x \in E(\lvert f_n - f \rvert \leqslant 1 / r) \subset E(\lvert f_n - f \rvert < \varepsilon)\) 对所有的 \(n > N (x, r)\) 都成立. 这表明了 \(x \in A\), 因此 \(\displaystyle \bigcap_{r=1}^\infty \varliminf\limits_{n} E(\lvert f_n - f \rvert \leqslant 1 / r) \subset A\).

综上所述, \(\displaystyle \bigcap_{r=1}^\infty \varliminf\limits_{n} E(\lvert f_n - f \rvert \leqslant 1 / r) = A\).

23. 用 \(\chi_E\) 表示集 \(E\) 的特征函数, 试证对于任一集列 \(\{E_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 有

    \[\chi_{\varlimsup\limits_{n} E_n} = \varlimsup\limits_{n} \chi_{E_n}, \quad \chi_{\varliminf\limits_{n} E_n} = \varliminf\limits_{n} \chi_{E_n}.\]

    从而集列 \(\{E_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 的极限存在等价于函数列 \(\{\chi_{E_n}\}_{n \in \mathbb{N}}\) 的极限存在 (\(n \to \infty\)).

证明

对于任意的 \(x \in E\), 有

\[\begin{split}x \in \varlimsup\limits_{n} E_n & \Longleftrightarrow \forall ~ n \in \mathbb{N}, \exists ~ k \geqslant n, ~\text{有}~ x \in E_k \\ & \Longleftrightarrow \forall ~ n \in \mathbb{N}, \exists ~ k \geqslant n, ~\text{有}~ \chi_{E_k} (x) = 1 \\ & \Longleftrightarrow \varlimsup\limits_{n} \chi_{E_n} (x) = 1 ~ (\text{由于还有} ~ \chi_{E_n}(x) \leqslant 1 ~ \text{恒成立}).\end{split}\]

因此 \(\chi_{\varlimsup\limits_{n} E_n} = \varlimsup\limits_{n} \chi_{E_n}\).

对于任意的 \(x \in E\), 有

\[\begin{split}x \in \varliminf\limits_{n} E_n & \Longleftrightarrow \exists ~ n \in \mathbb{N}, \forall ~ k \geqslant n, ~\text{有}~ x \in E_k \\ & \Longleftrightarrow \exists ~ n \in \mathbb{N}, \forall ~ k \geqslant n, ~\text{有}~ \chi_{E_k} (x) = 1 \\ & \Longleftrightarrow \varliminf\limits_{n} \chi_{E_n} (x) = 1.\end{split}\]

因此 \(\chi_{\varliminf\limits_{n} E_n} = \varliminf\limits_{n} \chi_{E_n}\).

24. 设 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 是 \(E\) 上的可测函数列. 试证它的收敛点集与发散点集都是可测的.

证明

记 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 的收敛点集为 \(A\). 任取 \(x \in A\), 由于数列 \(\{ f_n(x) \}\) 收敛, 那么它是 \(\mathbb{R}\) 中柯西列, 即有

\[\forall ~ k \in \mathbb{N}, \exists ~ N \in \mathbb{N}, \text{ 使得 } \forall ~ n, m \geqslant N, ~ \text{有} ~ \lvert f_n(x) - f_m(x) \rvert \leqslant \dfrac{1}{k},\]

这表明

\[x \in \bigcap_{k = 1}^{\infty} \left( \bigcup_{N=1}^{\infty} \left( \bigcap_{n = N}^{\infty} \bigcap_{m = N}^{\infty} E \left( \lvert f_n - f_m \rvert \leqslant \dfrac{1}{k} \right) \right) \right).\]

反之, 从以上集合中任取一个元素 \(x,\) 它也满足之前提到的 \(\{ f_n(x) \}\) 是 \(\mathbb{R}\) 中柯西列的条件, 于是有

\[A = \bigcap_{k = 1}^{\infty} \left( \bigcup_{N=1}^{\infty} \left( \bigcap_{n = N}^{\infty} \bigcap_{m = N}^{\infty} E \left( \lvert f_n - f_m \rvert \leqslant \dfrac{1}{k} \right) \right) \right).\]

由于每个 \(f_n(x)\) 都是可测函数, 所以对任意的 \(n, m \in \mathbb{N},\) \(f_n - f_m\) 也是可测函数, 从而 \(\lvert f_n - f_m \rvert\) 也是可测函数. 由可测函数的定义知 \(E \left( \lvert f_n - f_m \rvert \leqslant \dfrac{1}{k} \right)\) 都是可测集, 而可测集全体 \(\mathscr{M}\) 构成一个 \(\sigma\)-代数, 于是有 \(A \in \mathscr{M}\) 也是一个可测集.

记 \(\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 的发散点集为 \(B\), 那么 \(B = E \setminus A\), 由可测集的性质知 \(B\) 也是可测的.

25. 设 \(m E > 0\), \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上几乎处处有限的可测函数列, 且当 \(n \to \infty\) 时, \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛. 证明存在常数 \(c\) 与正测度集 \(E_0 \subset E\), 使在 \(E_0\) 上对一切 \(n \in \mathbb{N}\) 有 \(\lvert f_n \rvert \leqslant c\).

证明

由于 \(\{f_n\}\) 是 \(E\) 上几乎处处有限的可测函数列, 那么 \(\displaystyle Z_0 = \bigcup_{n=1}^\infty E (\lvert f_n \rvert = \infty)\) 是零测集. 又由于 \(\{f_n\}\) 在 \(E\) 上几乎处处收敛 (注意: 收敛指的是收敛到一个有限的值, 不包括 \(\pm\infty\)), 那么存在零测集 \(Z_1 \subset E\) 使得 \(\{f_n\}\) 在 \(E \setminus Z_1\) 上处处收敛. 令 \(E_1 = E \setminus (Z_0 \cup Z_1)\), 那么 \(\displaystyle f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)\) 是 \(E_1\) 上处处有限的可测函数, 且 \(m E_1 > 0\). 由于

\[E_1 = E_1 (\lvert f \rvert < \infty) = \bigcup_{k=1}^\infty \left( E_1 (\lvert f \rvert < k) \cap \{ x \in E_1 : \lvert x \rvert < k \} \right),\]

那么存在 \(k_0 \in \mathbb{N}\), 使得 \(m \left( E_1 (\lvert f \rvert < k_0) \cap \{ x \in E_1 : \lvert x \rvert < k_0 \} \right) > 0\). 令

\[E_2 = E_1 (\lvert f \rvert < k_0) \cap \{ x \in E_1 : \lvert x \rvert < k_0 \},\]

那么 \(0 < m E_2 < \infty\) 且 \(\lvert f \rvert < k_0\) 在 \(E_2\) 上处处成立. 由 Egorov 定理, 对于 \(\delta = \dfrac{m E_2}{2} > 0\), 存在集合 \(E_3 \subset E_2\) 使得 \(m E_3 > m E_2 - \delta = \dfrac{m E_2}{2} > 0\), 且 \(\{f_n\}\) 在 \(E_3\) 上一致收敛于 \(f\). 因此, 对于 \(\varepsilon = 1\), 存在 \(N \in \mathbb{N}\), 使得当 \(n > N\) 时, 有 \(\lvert f_n(x) - f(x) \rvert < \varepsilon = 1, \forall ~ x \in E_3\). 那么对于所有的 \(n > N\), 有

\[E_3(\lvert f_n \rvert \leqslant k_0 + 1) = E_3.\]

另一方面, 令 \(E_{30} = E_3\), 有 \(m E_{30} > 0\), 且

\[E_{30} = E_{30} (\lvert f_1 \rvert < \infty) = \bigcup_{k=1}^\infty E_{30} (\lvert f_1 \rvert < k),\]

于是可以选取 \(k_1 \in \mathbb{N}\), 使得

\[m E_{31} = m E_{30} (\lvert f_1 \rvert < k_1) > 0.\]

于是对于 \(1 \leqslant n \leqslant N\), 可以归纳地选取 \(k_n \in \mathbb{N}\) 以及集合 \(E_{3n} \subset E_{3(n-1)}\) 使得 \(m E_{3n} > 0\), 且 \(f_n(x) < k_n\) 在 \(E_{3n}\) 上处处成立. 那么令

\[\begin{split}& c = \max \{ k_1, \cdots, k_N, k_0 + 1 \}, \\ & E_0 = E_{3N},\end{split}\]

即有 \(\lvert f_n \rvert \leqslant c\) 在正测度集 \(E_0\) 上对一切 \(n \in \mathbb{N}\) 成立.

26. 设函数列 \(\{f_n\}\) 在 \(\mathbb{R}\) 上几乎处处收敛于有限函数 \(f\). 试证存在可测集列 \(\{E_k\}_{k \in \mathbb{N}}\), 使在每个 \(E_k\) 上 \(\{f_n\}\) 一致收敛于 \(f, (n \to \infty)\) 而 \(\displaystyle \mathscr{C} \left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k \right)\) 为零测集.

证明

由于函数列 \(\{f_n\}\) 在 \(\mathbb{R}\) 上几乎处处收敛于有限函数 \(f\), 那么对于每个自然数 \(k \in \mathbb{N}\), 函数列 \(\{f_n\}\) 在区间 \([-k, k]\) 上几乎处处收敛于 \(f\). 由 Egorov 定理, 对于任意给定的 \(\varepsilon > 0\), 存在可测集 \(F_k \subset [-k, k]\) 使得 \(m([-k, k] \setminus F_k) < \varepsilon / 2^k\), 且 \(\{f_n\}\) 在 \(F_k\) 上一致收敛于 \(f\). 令 \(\displaystyle E_k = \bigcup_{i=1}^k F_i \subset [-k, k]\), 那么 \(\{E_k\}_{k \in \mathbb{N}}\) 是渐张可测集列, 且 \(f_n\) 在 \(E_k\) 上一致收敛于 \(f\), 且有

\[m \left( [-k, k] \setminus E_k \right) \leqslant m \left( [-k, k] \setminus F_k \right) < \varepsilon / 2^k.\]

进一步考虑可测集列

\[G_d := [-d, d] \cap \mathscr{C} \left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k \right), \quad d \in \mathbb{N},\]

那么 \(\{ G_d \}_{d \in \mathbb{N}}\) 是渐张可测集列, 且对任意 \(d \in \mathbb{N}\), 有

\[\begin{split}G_d & = [-d, d] \cap \mathscr{C} \left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k \right) = [-d, d] \cap \left( \bigcap_{k=1}^\infty \mathscr{C} (E_k) \right) \\ & = \left( \bigcap_{k=1}^\infty \left( [-d, d] \cap \mathscr{C} (E_k) \right) \right) \\ & \subset [-k, k] \setminus E_k, \quad \forall ~ k \geqslant d,\end{split}\]

于是 \(m G_d \leqslant m \left( [-k, k] \setminus E_k \right) < \varepsilon / 2^k, \forall ~ k \geqslant d\), 从而必有 \(m G_d = 0\). 另一方面, 由于

\[\bigcup_{d=1}^\infty G_d = \bigcup_{d=1}^\infty \left( [-d, d] \cap \mathscr{C} \left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k \right) \right) = \left( \bigcup_{d=1}^\infty [-d, d] \right) \cap \mathscr{C} \left( \bigcup_{k=1}^\infty E_k \right) = \mathscr{C} \left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k \right),\]

因此有

\[m \left( \mathscr{C} \left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k \right) \right) = m \left( \bigcup_{d=1}^\infty G_d \right) \leqslant \sum_{d=1}^\infty m G_d = 0.\]

备注

这里要注意的是, 尽管 \(\mathscr{C} E_k, k \in \mathbb{N}\) 构成了一个渐缩可测集列, 但其中每一个集合的测度都是无穷大的, 因此关于渐缩可测集列的性质

\[m \left( \mathscr{C} \left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k \right) \right) = m \left( \bigcap_{k=1}^\infty \mathscr{C} E_k \right) = \lim_{k \to \infty} m \left( \mathscr{C} E_k \right)\]

在这里不能使用.

28. 设 \(f(x), f_n(x) ~ (n \in \mathbb{N})\) 均是可测集 \(E\) 上的几乎处处有限的可测函数, 并且 \(\displaystyle m E(f_n \neq f) < \dfrac{1}{2^n}\), 试证 \(f_n \xrightarrow{a.e.} f ~ (n \to \infty)\).

证明

令 \(E_n = E(f_n \neq f)\), 那么 \(m E_n < \dfrac{1}{2^n}\), 考虑该可测集列的上限集

\[E^* = \varlimsup_{n} E_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty E_k = \{ x \in E ~ : ~ x \in E_k, ~ \text{对无穷多个} ~ k \}.\]

由于有渐缩可测集列

\[\bigcup_{k=1}^\infty E_k \supset \bigcup_{k=2}^\infty E_k \supset \cdots,\]

那么有

\[\begin{split}m E^* & = m \left( \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{k=n}^\infty E_k \right) = \lim_{n \to \infty} m \left( \bigcup_{k=n}^\infty E_k \right) \\ & \leqslant \lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^\infty m E_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^\infty \dfrac{1}{2^k} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2^{n-1}} \\ & = 0,\end{split}\]

从而 \(m E^* = 0\). 任取 \(x \in E \setminus E^*\), 由于

\[\begin{split}E \setminus E^* & = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty \left( E \setminus E_k \right) = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty E(f_k = f) \\ & = \{ x \in E ~ : ~ \exists ~ n \in \mathbb{N}, ~ \forall ~ k \geqslant n, ~ f_k(x) = f(x) \},\end{split}\]

那么有 \(f_n(x) \to f(x) ~ (n \to \infty)\), 即有 \(f_n \xrightarrow{a.e.} f ~ (n \to \infty)\).

备注

这题是所谓的 Borel-Cantelli 引理的一个应用. Borel-Cantelli 引理说的是, 如果 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty m E_n < \infty\), 那么 \(\displaystyle m \left( \varlimsup\limits_{n} E_n \right) = 0\).

29. 对 \(n \in \mathbb{N}\), 令

    \[\alpha_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n} - \left[ 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n} \right],\]

    其中 \([\alpha]\) 表示数 \(\alpha\) 的整部. 定义区间列

    \[\begin{split}I_n = \begin{cases} \left[ \alpha_n, \alpha_{n+1} \right), & \text{ 若 } \alpha_n \leqslant \alpha_{n+1}, \\ \\ % add some vertical space \left[ \alpha_{n}, 1 \right) \cup \left[ 0, \alpha_{n+1} \right), & \text{ 若 } \alpha_n > \alpha_{n+1}. \end{cases}\end{split}\]

    再定义 \([0, 1)\) 上的函数列 \(\{f_n = \chi_{I_n}\}_{n \in \mathbb{N}}\). 试证 \(\{f_n\}\) 依测度收敛于 \(0\) 而不几乎处处收敛于 \(0\). 试选出子序列 \(\{f_{n_k}\}\) 使它处处收敛于 \(0\).

证明

令 \(r_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n}\), 那么 \(\alpha_n = \{ r_n \}\), 其中 \(\{ \cdot \}\) 表示取小数部分. 我们有

\[\begin{split}\alpha_{n+1} = \begin{cases} \alpha_n + \dfrac{1}{n + 1}, & \text{ 若 } \alpha_n < 1 - \dfrac{1}{n+1}, \\ \alpha_n + \dfrac{1}{n + 1} - 1 = \alpha_n - \dfrac{n}{n + 1}, & \text{ 若 } \alpha_n \geqslant 1 - \dfrac{1}{n+1}. \end{cases}\end{split}\]

在这两种情况下, 总有 \(m I_n = \dfrac{1}{n + 1} \to 0 (n \to \infty)\). 因此 \(\{f_n = \chi_{I_n}\}\) 依测度收敛于 \(0\).

由于 \(r_n \to + \infty (n \to \infty)\), 那么 \(\forall ~ n \in \mathbb{N}\), 总存在 \(k \in \mathbb{N}\), 使得 \(\dfrac{1}{n+1} + \cdots + \dfrac{1}{n+k} > 1\). 这种情况下, \(I_n, \cdots, I_{n+k}\) 构成了 \([0, 1)\) 的一个覆盖, 那么对于所有的 \(x \in [0, 1)\), \(\{f_n(x), \cdots, f_{n+k}(x)\}\) 至少有一个为 1, 因此数列 \(\{f_n(x)\}_{n \in \mathbb{N}}\) 不收敛于 \(0\). 因此 \(\{f_n\}\) 不几乎处处收敛于 \(0\).

我们将所有满足 \(a_n \geqslant 1 - \dfrac{1}{n+1}\) 的 \(n\) 挑出来, 按从小到大的顺序排列, 得到下标的序列记为 \(\{n_k\}\). 由于 \(r_n \to + \infty (n \to \infty)\), 得到的序列也是一个无穷序列 \(\{n_k\}_{k \in \mathbb{N}}\). 在这种情况下, 有

\[I_{n_k} = [\alpha_{n_k}, 1) \cup [0, \alpha_{n_k + 1}).\]

由于 \(1 > a_{n_k} \geqslant 1 - \dfrac{1}{n_k+1}, 0 < \alpha_{n_k + 1} < \dfrac{1}{n_k + 1}\), 因此 \(\forall ~ x \in (0, 1)\), 存在 \(K \in \mathbb{N}\), 使得当 \(k > K\) 时, 有 \(x < 1 - \dfrac{1}{n_k+1} < a_{n_k}\) 且 \(x > \dfrac{1}{n_k + 1} > \alpha_{n_k + 1}\), 即 \(x \not \in I_{n_k}\). 因此 \(\{f_{n_k}\}\) 在 \((0, 1)\) 上处处收敛于 \(0\). 由于 \(0 \in I_{n_k}, \forall ~ k \in \mathbb{N}\), 所以 \(\displaystyle \lim_{k \to \infty} f_{n_k}(0) = 1\), 总之, \(\{f_{n_k}\}\) 在 \([0, 1)\) 上几乎处处 (除了 \(x = 0\) 这一点) 收敛于 \(0\), 离想要的结果还差一点.

更进一步: 将所有满足 \(a_n \geqslant 1 - \dfrac{1}{n+1}\) 的 \(n\) 挑出来, 按从小到大的顺序排列, 得到下标的序列记为 \(\{m_k\}_{k \in \mathbb{N}}\). 令 \(n_k = m_k - 1, k \in \mathbb{N}\), 即上一种取法的每一项在原序列中的前一项, 那么有

\[1 - \dfrac{1}{n_k + 1 + 1} \leqslant a_{n_k + 1} = a_{n_k} + \dfrac{1}{n_k + 1},\]

即

\[1 - \dfrac{1}{n_k + 2} - \dfrac{1}{n_k + 1} \leqslant a_{n_k}, \quad 1 - \dfrac{1}{n_k + 2} \leqslant a_{n_k + 1} < 1,\]

而且 \(I_{n_k} = [\alpha_{n_k}, \alpha_{n_k + 1})\). 可以看到, 当 \(k \to \infty\) 时, \(a_{n_k} \to 1, a_{n_k + 1} \to 1\), 因此 \(\forall ~ x \in [0, 1)\), 存在 \(K \in \mathbb{N}\), 使得当 \(k > K\) 时, 有 \(x < 1 - \dfrac{1}{n_k + 2} - \dfrac{1}{n_k + 1} < a_{n_k}\), 即 \(x \not \in I_{n_k}\). 因此 \(\{f_{n_k}\}\) 在 \([0, 1)\) 上处处收敛于 \(0\).

备注

我们这里取的区间 \(I_{n_k}\) 是随着 \(k\) 的增大, 逐渐向 \(1\) 靠近, 而且区间长度逐渐趋于 \(0\).

30. 试作 \(E = [0, 1]\) 上的可测函数 \(f\), 使对 \(E\) 上任何连续函数 \(g\) 有 \(m E( f \neq g ) \neq 0\). 此结果与 Luzin 定理有无矛盾?

解

取

\[\begin{split}f(x) = \begin{cases} -1, & 0 \leqslant x < 1/2, \\ 1, & 1/2 \leqslant x \leqslant 1. \end{cases}.\end{split}\]

假设存在连续函数 \(g\) 使得 \(m E( f \neq g ) = 0\), 则 \(m E(g = -1) = m E(f = -1) = 1/2\), \(m E(g = 1) = m E(f = 1) = 1/2\), 即存在 \(x_1, x_2 \in E\) 使得 \(g(x_1) = -1\), \(g(x_2) = 1\). 由于 \(g\) 是连续函数, 那么 \(\forall ~ y \in (-1, 1)\), 存在 \(x_3 \in E\) 使得 \(g(x_3) = y\), 即 \(g(E) \subset [-1, 1]\). 由于开集在连续函数下的原像是非空开集, 那么 \(g^{-1}((-1, 1))\) 是开集, 从而有正测度, 即 \(m E (-1 < g < 1) > 0\). 这会导致

\[1 = m E \geqslant m E(g = -1) + m E(g = 1) + m E (-1 < g < 1) > 1,\]

矛盾. 因此不存在这样的连续函数 \(g\), 也就是说 \(m E( f \neq g ) \neq 0\) 对任何连续函数 \(g\) 都成立.

这与 Luzin 定理不矛盾, 因为 Luzin 定理的结论是 \(\forall ~ \varepsilon > 0\), 存在连续函数 \(g\) 使得 \(m E( f \neq g ) < \varepsilon\). 在我们的例子中, \(\forall ~ \varepsilon > 0\), 可以取区间 \((1/2 - \varepsilon/2, 1/2 + \varepsilon/2)\), 并令

\[\begin{split}g(x) = \begin{cases} -1, & 0 \leqslant x < 1/2 - \varepsilon/2, \\ 1, & 1/2 + \varepsilon/2 < x \leqslant 1, \\ 1 + \dfrac{2}{\varepsilon} \left( x - \dfrac{1 + \varepsilon}{2} \right), & 1/2 - \varepsilon/2 \leqslant x < 1/2 + \varepsilon/2. \end{cases}\end{split}\]

32. 试证对 \([0, 1]\) 上带连续参数的可测函数族 \(\{f_t\}_{t \in [0, 1]}\), Egorov 定理不成立. 即存在 \(I = [0, 1]\) 上的可测函数族 \(\{f_t\}_{t \in [0, 1]}\), 当 \(t \to 0\) 时有 \(f_t \to 0\) a.e., 但对某个 \(\varepsilon > 0\), \(m^* I(f_t > \varepsilon) \nrightarrow 0 (t \to 0)\).

证明

待写