第二章补充材料

1. 勒贝格外测度的正则性. 对任意集合 \(E \subset \mathbb{R}^d\), 存在 \(G_{\delta}\)-集 \(A\), 称为 \(E\) 的等测包, 使得 \(E \subset A\) 且 \(m A = m^* E\).

证明

由外测度定义, 对任意自然数 \(n \in \mathbb{N}\), 存在开集 \(G_n\) 使得 \(E \subset G_n\), 且 \(m G_n \leqslant m^* E + \frac{1}{n}\). 令 \(A = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} G_n\), 则 \(A\) 为一个 \(G_{\delta}\)-集, 且 \(E \subset A\). 由 (外）测度的单调性, 有

\[m^* E \leqslant m^* A \leqslant m A \leqslant m G_n \leqslant m^* E + \frac{1}{n}.\]

令 \(n \to \infty\), 则有 \(m^* E = m^* A = m A\).

勒贝格外测度的正则性有一系列重要的推论, 这里列举几个:

(1). 设 \(\{E_n\}_{n=1}^{\infty}\) 为 \(\mathbb{R}^d\) 中的一列点集, 那么

\[ \begin{align}\begin{aligned}\DeclareMathOperator*\lowlim{\underline{lim}} \DeclareMathOperator*\uplim{\overline{lim}}\\m^* \left( \lowlim_{n \to \infty} E_n \right) \leqslant \lowlim_{n \to \infty} m^* E_n.\end{aligned}\end{align} \]

(2). 设 \(\{E_n\}_{n=1}^{\infty}\) 为 \(\mathbb{R}^d\) 中的渐张集列, 那么

\[\lim_{n \to \infty} m^* E_n = m^* \left( \lim_{n \to \infty} E_n \right).\]

2. 设 \(\mathscr{E}\) 为基本集 \(X\) 的子集族, 那么它生成的环 \(\mathscr{R}(\mathscr{E})\) 包含于

   \[\mathscr{R} := \left\{ E \subset X ~ : ~ E \subset \bigcup\limits_{k=1}^{n} E_k, ~ n \in \mathbb{N}, E_1, \dots, E_n \in \mathscr{E} \right\}.\]

   首先, 验证 \(\mathscr{R}\) 是一个环. 它关于有限并运算的封闭性显然, 只需验证它关于差运算的封闭性. 对任意 \(E \subset \bigcup\limits_{k=1}^{n} E_k\), \(F \subset \bigcup\limits_{j=1}^{m} F_j \in \mathscr{R}\), 有

   \[E \setminus F \subset E \subset \bigcup\limits_{k=1}^{n} E_k,\]

   从而知 \(E \setminus F \in \mathscr{R}\).

   其次, 由于 \(\mathscr{R}(\mathscr{E})\) 是包含 \(\mathscr{E}\) 的最小环, 所以 \(\mathscr{R}(\mathscr{E}) \subset \mathscr{R}\).