第二章补充材料#
勒贝格外测度的正则性.
对任意集合 \(E \subset \mathbb{R}^d\), 存在 \(G_{\delta}\)-集 \(A\), 称为 \(E\) 的等测包, 使得 \(E \subset A\) 且 \(m A = m^* E\).
由外测度定义, 对任意自然数 \(n \in \mathbb{N}\), 存在开集 \(G_n\) 使得 \(E \subset G_n\), 且 \(m G_n \leqslant m^* E + \frac{1}{n}\). 令 \(A = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} G_n\), 则 \(A\) 为一个 \(G_{\delta}\)-集, 且 \(E \subset A\). 由 (外) 测度的单调性, 有
令 \(n \to \infty\), 则有 \(m^* E = m^* A = m A\).
备注
勒贝格外测度的正则性有一系列重要的推论, 这里列举几个:
(1). 设 \(\{E_n\}_{n=1}^{\infty}\) 为 \(\mathbb{R}^d\) 中的一列点集, 那么
(2). 设 \(\{E_n\}_{n=1}^{\infty}\) 为 \(\mathbb{R}^d\) 中的渐张集列, 那么
设 \(\mathscr{E}\) 为基本集 \(X\) 的子集族, 那么它生成的环 \(\mathscr{R}(\mathscr{E})\) 包含于
\[\mathscr{R} := \left\{ E \subset X ~ : ~ E \subset \bigcup\limits_{k=1}^{n} E_k, ~ n \in \mathbb{N}, E_1, \dots, E_n \in \mathscr{E} \right\}.\]首先, 验证 \(\mathscr{R}\) 是一个环. 它关于有限并运算的封闭性显然, 只需验证它关于差运算的封闭性. 对任意 \(E \subset \bigcup\limits_{k=1}^{n} E_k\), \(F \subset \bigcup\limits_{j=1}^{m} F_j \in \mathscr{R}\), 有
\[E \setminus F \subset E \subset \bigcup\limits_{k=1}^{n} E_k,\]从而知 \(E \setminus F \in \mathscr{R}\).
其次, 由于 \(\mathscr{R}(\mathscr{E})\) 是包含 \(\mathscr{E}\) 的最小环, 所以 \(\mathscr{R}(\mathscr{E}) \subset \mathscr{R}\).
内测度的次可加性不等式严格成立的例子.
设 \(X = [0, 1]\) 区间, 任取其中一个不可测集 \(A\) (这样集合的存在性见 本章第 28 题), 令 \(B = X \setminus A\) 为 \(A\) 在 \(X\) 中的补集. 首先, 由内、外测度的关系, 有
\[\begin{split}\begin{cases} m^* A + m_* B = 1, \\ m^* B + m_* A = 1. \end{cases}\end{split}\]其次, 由于 \(A, B\) 都不可测, 故有
\[\begin{split}\begin{cases} m^* A > m_* A, \\ m^* B > m_* B. \end{cases}\end{split}\]于是, 联立以上四个式子, 可得
\[m_* A + m_* B < 1 = m_* X = m_* (A \cup B).\]
测度扩张
