§3 傅里叶变换概要

39. 设 \(f, f_n \in L^1(\mathbb{R}), n \in \mathbb{N}\), 且 \(f_n \xrightarrow{\text{强}} f\) (在 \(L^1(\mathbb{R})\) 中), 证明在 \(\mathbb{R}\) 上一致地有 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \hat{f}_n(t) = \hat{f}(t)\). 问在 \(L^2(\mathbb{R})\) 中相应的命题是否成立?

证明

对任意 \(t \in \mathbb{R}\), 有

\[\begin{split}\left\lvert \hat{f}_n(t) - \hat{f}(t) \right\rvert & = \dfrac{1}{2\pi} \left\lvert \int_{\mathbb{R}} f_n(x) e^{-itx} ~ \mathrm{d} x - \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-itx} ~ \mathrm{d} x \right\rvert \\ & \leqslant \dfrac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} \left\lvert f_n(x) - f(x) \right\rvert ~ \mathrm{d} x \\ & = \dfrac{1}{2\pi} \lVert f_n - f \rVert_1 \xrightarrow{n \to \infty} 0.\end{split}\]

这表明了 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \hat{f}_n(t) = \hat{f}(t)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上一致成立.

在 \(L^2(\mathbb{R})\) 中, 相应的命题不成立. 反例如下:

取 \(\displaystyle \varphi(x) = \dfrac{1}{2}\chi_{[-1, 1]}(x) \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})\), 并令 \(f_n(x) = \varphi^{*n}(x)\), 其中 \(\varphi^{*n}\) 表示 \(\varphi\) 自身的卷积 \(n\) 次. 容易验证 \(f_n\) 是具有紧支集的非负函数, 且 \(\lVert f_n \rVert_1 = 1\). 故对所有 \(n \in \mathbb{N}\), 有 \(f_n \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})\). 那么有

\[\begin{split}\begin{gathered} \hat{f}(t) = \hat{\varphi}(t) = \dfrac{\sin t}{2\pi t}, \\ \hat{f}_n(t) = (2\pi)^{n-1} \hat{\varphi}^n(t) = \dfrac{\sin^n t}{2\pi t^n}. \end{gathered}\end{split}\]

那么由帕塞瓦尔 (Parseval) 公式知

\[\begin{split}\lim_{n \to \infty} \lVert f_n \rVert_2^2 & = \lim_{n \to \infty} 2 \pi \int_{\mathbb{R}} \lvert \hat{f}_n(t) \rvert^2 ~ \mathrm{d} t = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} \dfrac{\sin^{2n} t}{t^{2n}} ~ \mathrm{d} t \\ & = \dfrac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} \lim_{n \to \infty} \dfrac{\sin^{2n} t}{t^{2n}} ~ \mathrm{d} t \\ & = 0,\end{split}\]

即在 \(L^2(\mathbb{R})\) 中 \(f_n \xrightarrow{\text{强}} 0\), 但是 \(t = 0\) 处, \(\hat{f}_n(t)\) 不收敛到 \(0\).

40. 设 \(C_0\) 表示 \(\mathbb{R}\) 上有界连续函数 \(g\) 且满足 \(\displaystyle \lim_{t \to \pm\infty} g(t) = 0\) 的函数类. 问每个 \(g \in C_0\) 是否均为某一可积函数的傅里叶变换的像?

证明

不是每个 \(g \in C_0\) 都是某一可积函数的傅里叶变换的像.

反例: 考虑如下定义的奇函数 \(g\):

\[\begin{split}g(t) = \begin{cases} 1 / \ln t, & t > e, \\ t / e, & 0 \leqslant t \leqslant e, \\ -g(-t), & t < 0. \end{cases}\end{split}\]

容易验证函数 \(g\) 连续, \(\lvert g \rvert \leqslant 1\), 且 \(\displaystyle \lim_{t \to \pm\infty} g(t) = 0\). 但是对于函数 \(g\) 有

(1)\[\int_e^c \dfrac{g(t)}{t} ~ \mathrm{d} t = \int_e^c \dfrac{1}{t \ln t} ~ \mathrm{d} t = \ln \ln c - \ln \ln e \xrightarrow{c \to \infty} \infty.\]

下面证明, 对于任意实值可积函数 \(f\), 若

(2)\[\hat{f}(t) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-itx} ~ \mathrm{d} x = \dfrac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} f(x) \cos tx ~ \mathrm{d} x + i \dfrac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} f(x) \sin tx ~ \mathrm{d} x\]

为奇函数, 则必存在常数 \(M\), 使得

(3)\[\left\lvert \int_a^c \dfrac{\hat{f}(t)}{t} ~ \mathrm{d} t \right\rvert \leqslant M\]

对任意 \(0 < a < c \in \mathbb{R}\) 成立. 这样 (1), (2) 两式矛盾, 从而得证.

事实上, 由 (2) 式已看出, 若 \(\hat{f}(t)\) 为奇函数, 则有

\[\hat{f}(t) = i \dfrac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} f(x) \sin tx ~ \mathrm{d} x.\]

于是

\[\left\lvert \int_a^c \dfrac{\hat{f}(t)}{t} ~ \mathrm{d} t \right\rvert = \dfrac{1}{2\pi} \left\lvert \int_a^c \int_{\mathbb{R}} f(x) \dfrac{\sin tx}{t} ~ \mathrm{d} x ~ \mathrm{d} t \right\rvert.\]

由于 \(\displaystyle \left\lvert f(x) \dfrac{\sin tx}{t} \right\rvert \leqslant \dfrac{\lvert f(x) \rvert}{t}\), 在 \(\mathbb{R} \times (a, c)\) 上可积, 由 Fubini 定理, 有

(4)\[\begin{split}\left\lvert \int_a^c \dfrac{\hat{f}(t)}{t} ~ \mathrm{d} t \right\rvert & = \dfrac{1}{2\pi} \left\lvert \int_a^c \int_{\mathbb{R}} f(x) \dfrac{\sin tx}{t} ~ \mathrm{d} x ~ \mathrm{d} t \right\rvert \\ & = \dfrac{1}{2\pi} \left\lvert \int_{\mathbb{R}} f(x) \int_a^c \dfrac{\sin tx}{t} ~ \mathrm{d} t ~ \mathrm{d} x \right\rvert.\end{split}\]

由于 \(\displaystyle \varphi(s) = \int_0^s \dfrac{\sin t}{t} ~ \mathrm{d} t\) 为有界函数, 设它的一个上界为 \(M_0\). 又有

\[\begin{split}\begin{gathered} \int_a^c \dfrac{\sin tx}{t} ~ \mathrm{d} t = \int_{ax}^{cx} \dfrac{\sin t}{t} ~ \mathrm{d} t = \varphi(cx) - \varphi(ax), \quad x > 0, \\ \int_a^c \dfrac{\sin tx}{t} ~ \mathrm{d} t = -\int_{-ax}^{-cx} \dfrac{\sin t}{t} ~ \mathrm{d} t = \varphi(-ax) - \varphi(-cx), \quad x < 0, \end{gathered}\end{split}\]

故 \(\displaystyle \left\lvert \int_a^c \dfrac{\sin tx}{t} ~ \mathrm{d} t \right\rvert \leqslant 2M_0\). 代入 (4) 式有

\[\left\lvert \int_a^c \dfrac{\hat{f}(t)}{t} ~ \mathrm{d} t \right\rvert \leqslant \dfrac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} \lvert f(x) \rvert 2M_0 ~ \mathrm{d} x = \dfrac{M_0}{\pi} \lVert f \rVert_1.\]

于是取 \(\displaystyle M = \dfrac{M_0}{\pi} \lVert f \rVert_1\) 即可.

41. 设 \(f \in L^1(\mathbb{R})\) 或 \(L^2(\mathbb{R})\) 且 \(\hat{f} = 0\). 证明 \(f \sim 0\).

证明

由于 \(\hat{f} = 0 \in L^1(\mathbb{R})\), 故当 \(f \in L^1(\mathbb{R})\) 时, 由反演公式

\[f(x) = \int_{\mathbb{R}} \hat{f}(t) e^{itx} ~ \mathrm{d} t = 0, \quad \text{a.e.} ~ x \in \mathbb{R},\]

即有 \(f \sim 0\).

当 \(f \in L^2(\mathbb{R})\) 时, 由普朗席奈定理 (Plancherel 定理), 相应的反演公式为

\[f(x) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left( \int_{\mathbb{R}} \hat{f}(t) \dfrac{e^{itx} - 1}{it} ~ \mathrm{d} t \right) = 0, \quad \text{a.e.} ~ x \in \mathbb{R},\]

也有 \(f \sim 0\).