第三章补充材料

1. 设 \(f\) 是可测集 \(E\) 上的函数, \(D\) 是 \(\mathbb{R}\) 中稠密集, 若 \(\forall ~ \alpha \in D\), \(E(f > \alpha)\) 都是可测集, 则 \(f\) 是可测函数.

证明

任取实数 \(r \in \mathbb{R}\), 由于 \(D\) 是 \(\mathbb{R}\) 中稠密集, 所以存在 \(D\) 中点列 \(\{\alpha_k\}_{k \in \mathbb{N}}\) 使得 \(\alpha_k > r\), 且 \(\displaystyle \lim_{k \to \infty} \alpha_k = r\). 那么可以断言有

\[E(f > r) = \bigcup_{k \in \mathbb{N}} E(f > \alpha_k).\]

首先, 由于 \(\alpha_k > r\), 所以 \(E(f > r) \supset E(f > \alpha_k)\), 从而知上式左边包含右边. 另一方面, \(\forall ~ x \in E(f > r)\), 有 \(f(x) > r\), 所以存在 \(k_0 \in \mathbb{N}\) 使得 \(f(x) \geqslant \alpha_{k_0} \geqslant r\), 从而 \(x \in E(f > \alpha_{k_0})\), 所以上式右边包含左边.

由于 \(E(f > \alpha_k)\) 都是可测集, 所以 \(E(f > r)\) 也是可测集, 这说明 \(f\) 是可测函数.