§4 关于测度的几点评注

24. 设 \(E\) 是一维有界集, \(I_1, I_2, \dots\) 是任意区间集列 (可以相交）, 其并覆盖 \(E\), 试证

    \[m^*(E) = \inf\limits_{\cup I_k \supset E} \sum\limits_{k=1}^\infty l(I_n).\]

    对于二维情形如何?

证明

在一维有界集的情况, \(E\) 的外测度定义为

\[m^* E = \inf_{G \supset E} m G = \inf_{\cup J_k = G \supset E} \sum_k m I_k \geqslant \inf_{\cup I_k \supset E} \sum_k m I_k,\]

其中 \(G\) 为包含 \(E\) 的开集, \(m G = \sum\limits_{k} m J_k\) 为 \(G\) 的测度, \(G = \bigcup\limits_k J_k\) 为 \(G\) 的结构表示. 最后的不等式成立是因为结构表示 \(\{J_k\}\) 是任意区间集列 \(\{I_k\}\) 的特例.

另一方面, 由于外测度的次可加性, 对所有覆盖 \(E\) 的区间集列 \(\{I_k\}\) 有

\[m^* E \leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty m^* I_k = \sum\limits_{k=1}^\infty m I_k,\]

从而有

\[m^* E \leqslant \inf_{\cup I_k \supset E} \sum\limits_{k=1}^\infty m I_k.\]

综上, 有

\[m^* E = \inf_{\cup I_k \supset E} \sum\limits_{k=1}^\infty l(I_n).\]

对于二维 (或更高维）情形, 需要将区间集列改为矩体集列.

25. 设 \(Q\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 中的单位正方形 \([0,1;0,1]\), \(\{E_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 是 \(Q\) 中的可测集列, 且数列 \(\{m E_n \}_{n \in \mathbb{N}}\) 有聚点 \(1\), 证明存在子列 \(\{E_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}}\) 使 \(m \left( \bigcap\limits_{k=1}^\infty E_{n_k} \right) > 0\).

证明

由于数列 \(\{m E_n \}_{n \in \mathbb{N}}\) 有聚点 \(1\), 那么存在子列 \(\{E_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}}\) 使得 \(\lim\limits_{k \to \infty} m E_{n_k} = 1\). 令基本集为单位正方形 \([0,1;0,1]\), 那么有 \(\lim\limits_{k \to \infty} m \mathscr{C} E_{n_k} = 0\). 那么对任意的 \(\varepsilon > 0\), 可以选出 \(\{E_{n_k}\}_{k \in \mathbb{N}}\) 的子列 \(\{E_{n_{k_i}}\}_{i \in \mathbb{N}}\) 使得

\[m \mathscr{C} E_{n_{k_i}} < \frac{\varepsilon}{2^i}, \quad i \in \mathbb{N}.\]

那么有

\[m \left( \bigcap_{i = 1}^{\infty} E_{n_{k_i}} \right) = 1 - m \left( \bigcup_{i = 1}^{\infty} \mathscr{C} E_{n_{k_i}} \right) \geqslant 1 - \sum_{i = 1}^{\infty} m \mathscr{C} E_{n_{k_i}} \geqslant 1 - \varepsilon.\]

\(\varepsilon\) 足够小的时候 (比如 \(\varepsilon < 1\)), 有 \(m \left( \bigcap\limits_{i=1}^\infty E_{n_{k_i}} \right) > 0\). 所以, 子列 \(\{E_{n_{k_i}}\}_{i \in \mathbb{N}}\) 即是题目所求.

27. 设 \(E\) 是 \(\mathbb{R}\) 中的可测集, 证明 \(D(E) = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x-y \in E \right\}\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 中的可测集.

证明

由于 \(E\) 是 \(\mathbb{R}\) 中的可测集, 那么存在一个 \(F_{\sigma}\) 集 \(F\), 即 \(E\) 的等测核, 使得 \(F \subset E\) 且 \(m F = m E\). 记 \(Z = E \setminus F\), 那么 \(Z\) 是零测集, 且

\[E = F \cup Z\]

为一个 Borel 集与零测集的不交并. 令

\[f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \quad f(x, y) = x - y,\]

那么 \(f\) 是一个线性映射, 从而是连续的. 令 \(\mathscr{B}\) 为 \(\mathbb{R}\) 中的 Borel 集构成的 \(\sigma\) 代数, 那么由 本节第 35 题 知 \(\{ f^{-1} (B) : B \in \mathscr{B} \}\) 为 \(\mathbb{R}^2\) 中的 \(\sigma\) 代数. 由于开集在连续映射下的原像为开集, 所以这个 \(\sigma\) 代数是 \(\mathbb{R}^2\) 中的 Borel \(\sigma\) 代数. 由于 \(D(E) = f^{-1} (E) = f^{-1} (F) \cup f^{-1} (Z)\), 其中 \(f^{-1} (F)\) 为 \(\mathbb{R}^2\) 中的 Borel 集, 只要证明 \(f^{-1} (Z)\) 为 \(\mathbb{R}^2\) 中的零测集, 即有 \(D(E)\) 为 \(\mathbb{R}^2\) 中的可测集.

下证 \(f^{-1} (Z)\) 为 \(\mathbb{R}^2\) 中的零测集. 事实上, \(f\) 可以视为如下两个映射的复合:

\[\begin{split}& T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \quad T(x, y) = (x - y, y), \\ & \operatorname{pr}_1: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \quad \operatorname{pr}_1 (x, y) = x,\end{split}\]

即 \(f = \operatorname{pr}_1 \circ T\). 由于 \(T\) 是一个非奇异线性变换, 对任意 \(A \subset \mathbb{R}^2\) 有 (这个结论参见 本节第 32 题)

\[m^* (T^{-1}(A)) = \lvert \det T^{-1} \rvert m^* A,\]

所以只要证明 \(\operatorname{pr}_1^{-1} (Z)\) 为 \(\mathbb{R}^2\) 中的零测集即可. 事实上任取 \(\varepsilon > 0\), 有

\[\operatorname{pr}_1^{-1} (Z) = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x \in Z \} = Z \times \mathbb{R} \subset \bigcup_{k = 1}^{\infty} G_k \times (-k, k),\]

其中 \(Z \subset G_k \subset \mathbb{R}\) 是开集, 且 \(m G_k < \dfrac{\varepsilon}{k \cdot 2^{k+1}}\). 这样的 \(G_k\) 总可以取到, 因为 \(Z\) 是零测集. 那么有

\[m^* \left( \operatorname{pr}_1^{-1} (Z) \right) \leqslant \sum_{k = 1}^{\infty} m^* \left( G_k \times (-k, k) \right) = \sum_{k = 1}^{\infty} m G_k \cdot 2k < \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{k \cdot 2^{k+1}} \cdot 2k = \varepsilon.\]

由于 \(\varepsilon\) 是任意的正数, 所以 \(\operatorname{pr}_1^{-1} (Z)\) 为 \(\mathbb{R}^2\) 中的零测集. 于是我们证明了 \(\operatorname{pr}_1^{-1} (Z)\) 为 \(\mathbb{R}^2\) 中的零测集.

综上所述,

\[D(E) = f^{-1} (F) \cup f^{-1} (Z) = f^{-1} (F) \cup T^{-1} (\operatorname{pr}_1^{-1} (Z))\]

为 \(\mathbb{R}^2\) 中的可测集.

备注

可以利用一般性的结论: 设 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 可测, \(T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) 为非奇异线性变换, 那么 \(f \circ T\) 为可测函数. 那么这题就归结为证明 \(\operatorname{pr}_1: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) 为可测函数, 以及在映射 \(\operatorname{pr}_1\) 下, 零测集的原像仍为零测集.

28. 设 \(A\) 为一维可测集且 \(m A > 0\), 证明 \(A\) 存在不可测子集.

证明

令 \(E_n\) 为 本章第 15 题 中的集列, 每个 \(E_n \subset [0, 1)\) 都不可测, 两两互不相交, 并且 \(\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n = [0, 1)\). 对 \(n, k \in \mathbb{N}\), 令

\[E_{n, k} = E_n + k = \{ x + k ~ : ~ x \in E_n \},\]

那么 \(E_{n, k}\) 也是不可测集, 两两互不相交, 且 \(\displaystyle \bigcup_{n, k \in \mathbb{N}} E_{n, k} = \mathbb{R}\). 令 \(A_{n, k} = A \cap E_{n, k}\), 那么 \(A_{n, k}\) 两两互不相交, 且 \(\displaystyle \bigcup_{n, k \in \mathbb{N}} A_{n, k} = A\).

若对所有 \(n, k \in \mathbb{N}\), 集 \(A_{n, k}\) 都是可测的, 那么由测度的 \(\sigma\)-可加性知

\[m A = \sum\limits_{n, k \in \mathbb{N}} m A_{n, k}.\]

由于 \(m A > 0\), 那么至少存在一个 \(n_0, k_0 \in \mathbb{N}\), 使得 \(m A_{n_0, k_0} > 0\). 那么对每个 \(n \in \mathbb{N}\), 可以找到 \(E_{n, k_0}\) 中的正测度的可测子集

\[(A_{n_0, k_0} - k_0 + r_n \mod 1) + k_0 = \{ x + k_0 ~ : ~ x \in A_{n_0, k_0} - k_0 + r_n \mod 1 \},\]

其中 \(\mathbb{Q} = \{ r_n \}_{n \in \mathbb{N}}\) 是有理数集. 这些集合两两互不相交, 那么由测度的 \(\sigma\)-可加性知

\[1 = m [k, k + 1) \geqslant \sum_{n \in \mathbb{N}} m \left( (A_{n_0, k_0} - k_0 + r_n \mod 1) + k_0 \right) = \sum_{n \in \mathbb{N}} m A_{n_0, k_0} = \infty,\]

矛盾. 所以至少存在一个 \(n_0, k_0 \in \mathbb{N}\), 使得 \(A_{n_0, k_0}\) 不可测.

29. 设 \(E\) 为 \((0, 1)\) 中正测度子集且存在常数 \(c > 0\) 使对 \((0, 1)\) 中的变动区间 \(I\) 有 \(\lim\limits_{m I \to 0} m(E \cap I) / m I = c\), 证明 \(m E = 1\).

证明

首先, 由于 \(E \cap I \subset I\), 所以有 \(m(E \cap I) \leqslant m I\), 从而有 \(m(E \cap I) / m I \leqslant 1\). 由此可知必须有 \(c \leqslant 1\).

由于 \(\lim\limits_{m I \to 0} m(E \cap I) / m I = c\), 那么任取 \(0 < c' < c\), 存在 \(\delta > 0\), 使得当 \(m I < \delta\) 时有 \(m(E \cap I) / m I > c'\), 即

(1)\[m(E \cap I) > c' m I.\]

假设 \(m E < 1\), 那么 \(m \mathscr{C} E > 0\), 即 \(\mathscr{C} E\) 是具有正测度的可测集, 那么根据引理 4.1, 对于数 \(\alpha = 1 - \dfrac{c'}{2} \in (0, 1)\), 存在开区间 \(J \subset (0, 1)\), 使得

(2)\[m \left( \mathscr{C} E \cap J \right) > \alpha m J = \left( 1 - \frac{c'}{2} \right) m J.\]

可以假设 \(m J < \delta\), 否则可以将 \(J\) 平均分割成若干个长度小于 \(\delta\) 的开区间 (有限个区间端点对测度不影响）, 那么其中至少有一个开区间 \(J'\) 满足 \(m \left( \mathscr{C} E \cap J' \right) > \alpha m J'\), 否则上述不等式不成立. 那么由式 (1) 知

(3)\[m \left( E \cap J \right) > c' m J.\]

式 (3) 与式 (2) 相加, 有

\[m J = m \left( \mathscr{C} E \cap J \right) + m \left( E \cap J \right) > \left( 1 - \frac{c'}{2} \right) m J + c' m J = \left( 1 + \frac{c'}{2} \right) m J,\]

从而有 \(c' m J < 0\), 矛盾. 所以必须有 \(m E = 1\).

30. 设 \(\{E_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 为 \(\mathbb{R}\) 中互不相交的集列, 满足条件 \(m^* \left( \bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n \right) < \sum\limits_{n=1}^\infty m^* (E_n)\), 证明存在最小的自然数 \(N\) 使得 \(m^* \left( \bigcup\limits_{n=1}^N E_n \right) < \sum\limits_{n=1}^N m^* (E_n)\), 并且此时 \(E_N\) 是不可测的.

证明

对所有 \(n \in \mathbb{N}\), 令 \(\displaystyle A_n = \bigcup_{k=1}^{n} E_k\), 那么 \(\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 形成了一个渐张集列, 且有 \(\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\). 由 本章第 3 节第 14 题 有

(4)\[m^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \right) = m^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \lim_{n \to \infty} m^* A_n = \lim_{n \to \infty} m^* \left( \bigcup_{k=1}^{n} E_k \right).\]

假设对所有自然数 \(n\), 有 \(m^* \left( \bigcup\limits_{k=1}^n E_k \right) = \sum\limits_{k=1}^n m^* E_k\), 对此式两边同时取极限 \(n \to \infty\), 有

(5)\[\lim_{n \to \infty} m^* \left( \bigcup_{k=1}^{n} E_k \right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} m^* E_k = \sum_{n=1}^{\infty} m^* E_n.\]

式 (4) 与式 (5) 结合即得

\[m^* \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} m^* E_n,\]

这与题设已知的 \(m^* \left( \bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n \right) < \sum\limits_{n=1}^\infty m^* E_n\) 矛盾. 所以存在 (最小的）自然数 \(N \geqslant 2\) 使得

\[m^* \left( \bigcup\limits_{n=1}^N E_n \right) < \sum\limits_{n=1}^N m^* E_n.\]

假设 \(E_N\) 是可测的, 那么由 Carathéodory 定理, 取 \(\displaystyle A_N = \bigcup_{k=1}^{N} E_k\) 为测试集, 再注意到 \(E_1, \dots, E_N\) 互不相交, 有

\[\begin{split}\sum_{n=1}^{N} m^* E_n > m^* A_N & = m^* \left( A_N \cap E_N \right) + m^* \left( A_N \cap \mathscr{C} E_N \right) \\ & = m^* E_N + m^* A_{N-1}.\end{split}\]

上式两边同时消去 \(m^* E_{N}\), 有

\[m^* \left( \bigcup\limits_{n=1}^{N-1} E_n \right) = m^* A_{N-1} < \sum\limits_{n=1}^{N-1} m^* E_n,\]

这与 \(N\) 的最小性矛盾. 所以 \(E_N\) 是不可测的.

32. 设 \(T\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 上的非奇异线性变换, 证明对任一 \(E \subset \mathbb{R}^n\) 有

    \[m^* (T(E)) = \lvert \det T \rvert m^* E.\]

证明

由于非奇异线性变换都可以表示为以下三类变换的复合:

1. 某两个分量的交换: \(T(x_1, \dots, x_i, \dots, x_j, \dots, x_n) = (x_1, \dots, x_j, \dots, x_i, \dots, x_n)\);

2. 某个分量的伸缩: \(T(x_1, \dots, x_i, \dots, x_n) = (x_1, \dots, c x_i, \dots, x_n)\), 其中 \(c \ne 0\);

3. 某个分量乘以常数加到另一个分量上: \(T(x_1, \dots, x_i, \dots, x_j, \dots, x_n) = (x_1, \dots, x_i + c x_j, \dots, x_j, \dots, x_n)\).

而又有 \(\det T_k \circ \cdots \circ T_1 = \det T_k \cdots \det T_1\), 所以只要证明对于上述三种变换, 结论成立即可.

\(\mathbb{R}^n\) 中点集外测度的定义为该点集的 \(L\)-覆盖的体积和的下确界, \(L\)-覆盖由可数多个半开闭矩体构成, 因此只要对半开闭矩体的变换证明结论成立即可. 任取一个半开闭矩体 \(I = [a_1, b_1) \times \cdots \times [a_n, b_n)\), \(m I = (b_1 - a_1) \cdots (b_n - a_n)\).

对于第一类变换, \(T(I) = [a_1, b_1) \times \cdots \times [a_j, b_j) \times \cdots \times [a_i, b_i) \times \cdots \times [a_n, b_n)\), \(\det T = -1\), 有

\[m T(I) = (b_1 - a_1) \cdots (b_j - a_j) \cdots (b_i - a_i) \cdots (b_n - a_n) = m I = \lvert \det T \rvert m I.\]

对于第二类变换, 若 \(c > 0\), 则 \(T(I) = [a_1, b_1) \times \cdots \times [c a_i, c b_i) \times \cdots \times [a_n, b_n)\), \(\det T = c\), 若 \(c < 0\), 则 \(T(I) = [c b_1, c a_1) \times \cdots \times (c b_i, c a_i] \times \cdots \times [c b_n, c a_n)\), \(\det T = c\). 那么有

\[\begin{split}m T(I) & = (b_1 - a_1) \cdots \lvert c b_i - c a_i \rvert \cdots (b_n - a_n) = c (b_1 - a_1) \cdots (b_i - a_i) \cdots (b_n - a_n) \\ & = \lvert c \rvert m I = \lvert \det T \rvert m I.\end{split}\]

对于第三类变换, \(T(I) = [a_1, b_1) \times \cdots \times [a_i + c (b_j - a_j), b_i + c (b_j - a_j)) \times \cdots \times [a_j, b_j) \times \cdots \times [a_n, b_n)\), \(\det T = 1\),

\[\begin{split}m T(I) & = (b_1 - a_1) \cdots (b_i + c (b_j - a_j) - a_i - c (b_j - a_j)) \cdots (b_j - a_j) \cdots (b_n - a_n) \\ & = (b_1 - a_1) \cdots (b_i - a_i) \cdots (b_j - a_j) \cdots (b_n - a_n) \\ & = m I = \lvert \det T \rvert m I.\end{split}\]

综上所述, 对于任意的半开闭矩体 \(I\), 有 \(m T(I) = \lvert \det T \rvert m I\), 从而有 \(m^* (T(E)) = \lvert \det T \rvert m^* E\).

33. 设 \(E\) 为 \(\mathbb{R}^n\) 中任一子集, \(\alpha\) 为给定正数. 对任意的 \(\varepsilon > 0\), 令

    \[H_{\alpha, \varepsilon} (E) = \inf \sum_k d (E_k)^{\alpha},\]

    其中 \(d (E_k)\) 表示 \(E_k\) 的直径, 下确界对一切满足 \(E \subset \bigcup\limits_{k} E_k\) 而 \(d (E_k) < \varepsilon, k \in \mathbb{N}\) 的集列 \(\{E_k\}\) 而取. 再令

    \[H_{\alpha} (E) = \lim\limits_{\varepsilon \to 0} H_{\alpha, \varepsilon} (E) = \sup\limits_{\varepsilon > 0} H_{\alpha, \varepsilon} (E).\]

    试证 \(H_{\alpha}\) 为基本集 \(\mathbb{R}^n\) 上的外测度并满足条件: 若 \(H_{\alpha} (E) < \infty\), 则当 \(\beta > \alpha\) 时, \(H_{\beta} (E) = 0\).

    \(H_{\alpha}\) 称为 \(E\) 的带指标 \(\alpha\) 的豪斯多夫 (Hausdorff) 测度.

证明

\(1^{\circ}\). \(H_{\alpha}\) 的非负性: 由于集合的直径是非负的, 而 \(\lim, \sup, \inf\) 都具有保号性, 所以 \(H_{\alpha} (E) \geqslant 0\) 对于任意的 \(E \subset \mathbb{R}^n\) 成立. 对于 \(E = \emptyset\), 以及任意给定的 \(\varepsilon > 0\), 对任意 \(n \in \mathbb{N}\), 可以取到 \(E_n \in \mathbb{R}^n\), 使得其直径 \(d (E_n) < \varepsilon / n\), 例如直径为 \(\varepsilon / 2n\) 的闭球. 那么有 \(E \subset E_n\), 以及

\[H_{\alpha, \varepsilon} (E) \leqslant \inf_{n \in \mathbb{N}} d (E_n)^{\alpha} \leqslant \inf_{n \in \mathbb{N}} \left( \frac{\varepsilon}{n} \right)^{\alpha} = 0,\]

从而有 \(H_{\alpha} (\emptyset) = 0\).

\(2^{\circ}\). \(H_{\alpha}\) 的次可加性: 设 \(\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) 为 \(\mathbb{R}^n\) 中的集列, 记 \(\displaystyle A = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\), 那么依定义

\[H_{\alpha}\left( A \right) = \sup_{\varepsilon > 0} \inf \sum_{k = 1}^{\infty} d (E_{k})^{\alpha},\]

其中下确界对一切满足 \(A \subset \bigcup\limits_{k = 1}^{\infty} E_{k}\) 且 \(d (E_{k}) < \varepsilon, k \in \mathbb{N}\) 的集列 \(\{E_{k}\}_{k \in \mathbb{N}}\) 而取. 对于每一个 \(A_n\), 以及给定的 \(\varepsilon > 0\), 假设 \(\{E^{(n)}_k\}_{k \in \mathbb{N}}\) 为满足 \(A_n \subset \bigcup\limits_{k = 1}^{\infty} E^{(n)}_k\) 且 \(d (E^{(n)}_k) < \varepsilon, k \in \mathbb{N}\) 的集列, 那么集列 \(\{E^{(n)}_k\}_{n, k \in \mathbb{N}}\) 覆盖 \(A\), 且每一个 \(E^{(n)}_k\) 的直径都小于 \(\varepsilon\). 但是覆盖集合 \(A\) 的满足其中每个元素的直径都小于 \(\varepsilon\) 的集列 并不一定具有以上的 \(\{E^{(n)}_k\}_{n, k \in \mathbb{N}}\) 的形式, 即集合

\[\left\{ \{E^{(n)}_k\}_{n, k \in \mathbb{N}} \ :\ A \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=1}^{\infty} E^{(n)}_k, d (E^{(n)}_k) < \varepsilon, n, k \in \mathbb{N} \right\}\]

是集合

\[\left\{ \{E_k\}_{k \in \mathbb{N}} \ :\ A \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} E_k, d (E_k) < \varepsilon, k \in \mathbb{N} \right\}\]

的子集. 所以有

\[H_{\alpha, \varepsilon} (A) \leqslant \inf \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{k = 1}^{\infty} d (E^{(n)}_k)^{\alpha}.\]

对于不同的 \(n\), 即不同的 \(A_n\), 覆盖的选取是独立无关的, 所以实际上有

\[\inf \sum_{n = 1}^{\infty} \sum_{k = 1}^{\infty} d (E^{(n)}_k)^{\alpha} = \sum_{n = 1}^{\infty} \inf \sum_{k = 1}^{\infty} d (E^{(n)}_k)^{\alpha} = \sum_{n = 1}^{\infty} H_{\alpha, \varepsilon} (A_n),\]

即有 \(H_{\alpha, \varepsilon} (A) \leqslant \sum\limits_{n = 1}^{\infty} H_{\alpha, \varepsilon} (A_n)\), 进而有

\[H_{\alpha} (A) = \sup_{\varepsilon > 0} H_{\alpha, \varepsilon} (A) \leqslant \sup_{\varepsilon > 0} \sum_{n = 1}^{\infty} H_{\alpha, \varepsilon} (A_n) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty} \sup_{\varepsilon > 0} H_{\alpha, \varepsilon} (A_n) = \sum_{n = 1}^{\infty} H_{\alpha} (A_n).\]

\(3^{\circ}\). \(H_{\alpha}\) 的单调性: 设 \(A \subset B\), 那么任何一个由直径不超过 \(\varepsilon\) 的集合构成的覆盖 \(B\) 的集列 同时也是覆盖 \(A\) 的集列, 但反过来不一定成立. 所以有

\[H_{\alpha, \varepsilon} (A) \leqslant H_{\alpha, \varepsilon} (B).\]

对 \(\varepsilon > 0\) 取上确界, 有

\[H_{\alpha} (A) = \sup_{\varepsilon > 0} H_{\alpha, \varepsilon} (A) \leqslant \sup_{\varepsilon > 0} H_{\alpha, \varepsilon} (B) = H_{\alpha} (B).\]

设集列 \(\{E_k\}_{k \in \mathbb{N}}\) 满足 \(d (E_k) < \varepsilon, \forall ~ k \in \mathbb{N}\). 对于 \(\beta > \alpha\), 有

\[\sum_{k} d (E_k)^{\beta} = \sum_{k} d (E_k)^{\alpha} \cdot d (E_k)^{\beta - \alpha} \leqslant \varepsilon^{\beta - \alpha} \sum_{k} d (E_k)^{\alpha}.\]

于是有

\[H_{\beta, \varepsilon} (E) = \inf \sum_{k} d (E_k)^{\beta} \leqslant \varepsilon^{\beta - \alpha} \inf \sum_{k} d (E_k)^{\alpha} = \varepsilon^{\beta - \alpha} H_{\alpha, \varepsilon} (E).\]

由于 \(\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \varepsilon^{\beta - \alpha} = 0\), \(\lim\limits_{\varepsilon \to 0} H_{\alpha, \varepsilon} (E) = H_{\alpha} (E)\) 为有限值, 所以上式右边的极限为 \(0\). 对上式两边同时令 \(\varepsilon \to 0\), 有

\[H_{\beta} (E) = \lim_{\varepsilon \to 0} H_{\beta, \varepsilon} (E) \leqslant \lim_{\varepsilon \to 0} \varepsilon^{\beta - \alpha} H_{\alpha, \varepsilon} (E) = 0.\]

34. 设 \(r\) 为给定的正数, \(a, b\) 为正的常数. \(\mathbb{R}^n\) 中子集列 \(V_1, V_2, \dots\) 满足条件: 每个 \(V_k\) 中含有半径 \(ar\) 的一个球且其直径 \(d(V_k) \leqslant br\). 试证任一球 \(B(z, r)\) 与 \(\{\overline{V}_k\}\) 中元素相交的个数小于或等于 \((1+b)^n a^{-n}\).

证明

这题假设这些 \(V_k\) 是互不相交的.

由于每个 \(V_k\) 中直径 \(d(V_k) \leqslant br\), 所以若 \(B(z, r)\) 与 \(\overline{V}_k\) 相交, 那么 \(B(z, r) \cup \overline{V}_k \subset B(z, (1+b)r)\). 设球 \(B(z, (1+b)r)\) 中能容纳半径为 \(ar\) 的球的个数为 \(N\), 令 \(c = \dfrac{\pi^{n/2}}{\Gamma (n/2 + 1)}\), 那么有

\[N \cdot c (ar)^n \leqslant c ((1+b)r)^n,\]

从而有 \(N \leqslant (1+b)^n a^{-n}\).

35. 设 \(f\) 为集 \(X \to Y\) 的任一映射, \(\mathscr{A}, \mathscr{B}\) 分别为 \(X, Y\) 中的 \(\sigma\) 代数, 证明

    \[\{ f^{-1} (B) : B \in \mathscr{B} \}, \quad \{B : f^{-1} (B) \in \mathscr{A} \}\]

    分别为 \(X, Y\) 中的 \(\sigma\) 代数.

证明

(1). 首先证明 \(\{ f^{-1} (B) : B \in \mathscr{B} \}\) 为 \(X\) 中的 \(\sigma\) 代数:

\(1^{\circ}\). 由于 \(\mathscr{B}\) 为 \(Y\) 中的 \(\sigma\) 代数, 那么 \(Y \in \mathscr{B}\). 由于 \(f^{-1} (Y) = X\), 那么 \(X \in \{ f^{-1} (B) : B \in \mathscr{B} \}\).

\(2^{\circ}\). 任取 \(A_1, A_2 \in \{ f^{-1} (B) : B \in \mathscr{B} \}\), 那么存在 \(B_1, B_2 \in \mathscr{B}\), 使得 \(A_1 = f^{-1} (B_1), A_2 = f^{-1} (B_2)\). 那么有

\[\begin{split}A_1 \setminus A_2 & = f^{-1} (B_1) \setminus f^{-1} (B_2) = f^{-1} (B_1) \cap \mathscr{C}_X f^{-1} (B_2) \\ & = f^{-1} (B_1 \cap \mathscr{C}_Y B_2) = f^{-1} (B_1 \setminus B_2).\end{split}\]

由于 \(\mathscr{B}\) 为 \(Y\) 中的 \(\sigma\) 代数, 那么 \(B_1 \setminus B_2 \in \mathscr{B}\), 从而 \(A_1 \setminus A_2 \in \{ f^{-1} (B) : B \in \mathscr{B} \}\).

\(3^{\circ}\). 任取 \(\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \{ f^{-1} (B) : B \in \mathscr{B} \}\), 那么存在 \(\{B_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathscr{B}\), 使得 \(A_n = f^{-1} (B_n), n \in \mathbb{N}\). 那么有

\[\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} f^{-1} (B_n) = f^{-1} \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \right).\]

由于 \(\mathscr{B}\) 为 \(Y\) 中的 \(\sigma\) 代数, 那么 \(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} B_n \in \mathscr{B}\), 从而 \(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \in \{ f^{-1} (B) : B \in \mathscr{B} \}\).

综合 \(1^{\circ}, 2^{\circ}, 3^{\circ}\), 有 \(\{ f^{-1} (B) : B \in \mathscr{B} \}\) 为 \(X\) 中的 \(\sigma\) 代数.

(2). 再证明 \(\{B : f^{-1} (B) \in \mathscr{A} \}\) 为 \(Y\) 中的 \(\sigma\) 代数:

\(1^{\circ}\). 由于 \(\mathscr{A}\) 为 \(X\) 中的 \(\sigma\) 代数, 那么 \(f^{-1} (Y) = X \in \mathscr{A}\), 从而有 \(Y \in \{B : f^{-1} (B) \in \mathscr{A} \}\).

\(2^{\circ}\). 任取 \(B_1, B_2 \in \{B : f^{-1} (B) \in \mathscr{A} \}\), 那么有 \(f^{-1} (B_1), f^{-1} (B_2) \in \mathscr{A}\). 由于 \(\mathscr{A}\) 为 \(X\) 中的 \(\sigma\) 代数, 那么

\[\mathscr{A} \ni f^{-1} (B_1) \setminus f^{-1} (B_2) = f^{-1} (B_1 \setminus B_2).\]

从而 \(B_1 \setminus B_2 \in \{B : f^{-1} (B) \in \mathscr{A} \}\).

\(3^{\circ}\). 任取 \(\{B_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \{B : f^{-1} (B) \in \mathscr{A} \}\), 那么有 \(\{f^{-1} (B_n)\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathscr{A}\). 由于 \(\mathscr{A}\) 为 \(X\) 中的 \(\sigma\) 代数, 那么有

\[\mathscr{A} \ni \bigcup_{n=1}^{\infty} f^{-1} (B_n) = f^{-1} \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \right).\]

从而 \(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} B_n \in \{B : f^{-1} (B) \in \mathscr{A} \}\).

综合 \(1^{\circ}, 2^{\circ}, 3^{\circ}\), 有 \(\{B : f^{-1} (B) \in \mathscr{A} \}\) 为 \(Y\) 中的 \(\sigma\) 代数.

36. 设 \(\mathscr{A}\) 为由 \(\mathbb{R}\) 中的一切这样的可测集 \(E\) 构成: 或者 \(m E = 0\) 或者 \(m \mathscr{C} E = 0\). 试证 \(\mathscr{A}\) 为 \(\mathbb{R}\) 中的 \(\sigma\) 代数.

证明

\(1^{\circ}\). 由于 \(\emptyset = \mathscr{C} \mathbb{R}\) 且 \(m \emptyset = 0\), 那么 \(\mathbb{R} \in \mathscr{A}\).

\(2^{\circ}\). 任取 \(A_1, A_2 \in \mathscr{A}\), 那么有 \(m A_1 = 0\) 或者 \(m \mathscr{C} A_1 = 0\); \(m A_2 = 0\) 或者 \(m \mathscr{C} A_2 = 0\). 若 \(m A_1 = 0\), 那么

\[m (A_1 \setminus A_2) \leqslant m A_1 = 0;\]

若 \(m \mathscr{C} A_1 = 0\), 那么考虑到 \(\mathscr{C}(A_1 \setminus A_2) = \mathscr{C} A_1 \cup A_2\), 当 \(m A_2 = 0\) 时有

\[m (\mathscr{C}(A_1 \setminus A_2)) = m (\mathscr{C} A_1 \cup A_2) \leqslant m \mathscr{C} A_1 + m A_2 = 0;\]

当 \(m \mathscr{C} A_2 = 0\) 时有

\[m (A_1 \setminus A_2) = m (A_1 \cap \mathscr{C} A_2) \leqslant m \mathscr{C} A_2 = 0.\]

从而知 \(A_1 \setminus A_2 \in \mathscr{A}\).

\(3^{\circ}\). 任取 \(\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathscr{A}\). 假设 \(m A_n = 0\) 对所有 \(n \in \mathbb{N}\) 成立, 那么有

\[m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) \leqslant \sum_{n=1}^{\infty} m A_n = 0.\]

若存在 \(A_{n_0} \in \{A_n\}_{n \in \mathbb{N}}\), 使得 \(m \mathscr{C} A_{n_0} = 0\), 那么有

\[m \left( \mathscr{C} \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) \right) = m \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} \mathscr{C} A_n \right) \leqslant m \mathscr{C} A_{n_0} = 0.\]

即知 \(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathscr{A}\).

综合 \(1^{\circ}, 2^{\circ}, 3^{\circ}\), 有 \(\mathscr{A}\) 为 \(\mathbb{R}\) 中的 \(\sigma\) 代数.

37. 设 \(\mathscr{S}\) 为 \(X\) 中任一非空子集族. 试证

    \[\sigma (f^{-1} (\mathscr{S})) = f^{-1} (\sigma (\mathscr{S})),\]

    其中 \(f\) 为 \(Y \to X\) 的映射, \(\sigma (\mathscr{S})\) 为 \(\mathscr{S}\) 生成的 \(\sigma\) 代数.

证明

由于 \(\mathscr{S} \subset \sigma (\mathscr{S})\), 那么有 \(f^{-1} (\mathscr{S}) \subset f^{-1} (\sigma (\mathscr{S}))\). 由于 \(\sigma (f^{-1} (\mathscr{S}))\) 为包含 \(f^{-1} (\mathscr{S})\) 的最小的 \(\sigma\) 代数, 并且由 本章第 35 题 知 \(f^{-1} (\sigma (\mathscr{S}))\) 为 \(Y\) 中的 \(\sigma\) 代数, 故 \(\sigma (f^{-1} (\mathscr{S})) \subset f^{-1} (\sigma (\mathscr{S}))\).

另一方面, 我们需要注意到这样一个事实:

对于任意一个 \(A \in f^{-1} (\sigma (\mathscr{S}))\), 有 \(f^{-1}(f(A)) = A\).

对于 \(A \in f^{-1} (\sigma (\mathscr{S}))\), 有 \(f(A) \in \sigma (\mathscr{S})\), 从而存在 \(E_1, E_2, \dots \in \mathscr{S}\), 使得

\[f(A) \subset \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_n \subset \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} f(f^{-1} (E_n)).\]

记 \(\widetilde{E}_n = f(f^{-1} (E_n)), E = \left( \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \widetilde{E}_n \right) \setminus f(A)\), 有

\[f^{-1} (E) = f^{-1} \left( \left( \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \widetilde{E}_n \right) \setminus f(A) \right) = \left( \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} f^{-1} (\widetilde{E}_n) \right) \setminus A = \left( \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} f^{-1} (E_n) \right) \setminus A.\]

由于 \(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} f^{-1} (E_n) \in \sigma (f^{-1} (\mathscr{S})) \subset f^{-1} (\sigma (\mathscr{S}))\), 并且 \(A \in f^{-1} (\sigma (\mathscr{S}))\), 那么有 \(f^{-1} (E) \in f^{-1} (\sigma (\mathscr{S}))\), 即 \(E \in \sigma (\mathscr{S})\).

未完。。。。