§1 集及其运算

1. 证明关系式

   (1). \((A \setminus B) \cap (C \setminus D) = (A \cap C) \setminus (B \cup D).\)

   (2). \((A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C).\)

   (3). \(A \setminus (B \setminus C) \subset (A \setminus B) \cup C.\)

   (4). \((A \setminus B) \setminus (C \setminus D) \subset (A \setminus C) \cup (D \setminus B).\)

   (5). \((A \setminus B) \cup C = A \setminus (B \setminus C)\) 成立的充要条件是什么?

   (6). \(A \cup (B \setminus C) = (A \cup B) \setminus C\) 是否成立?

证明

总可以假设上述集合都包含在某个基本集 \(X\) 中, 于是可以将差集写成与相应补集的交集.

(1). 有

\[\begin{split}\begin{align*} & (A \setminus B) \cap (C \setminus D) \\ = & (A \cap \mathscr{C} B) \cap (C \cap \mathscr{C} D) = (A \cap C) \cap (\mathscr{C} B \cap \mathscr{C} D) \\ = & (A \cap C) \cap \mathscr{C} ( B \cup D) = (A \cap C) \setminus (B \cup D) \end{align*}\end{split}\]

(2). 这是集合交、并运算的分配律.

(3). 有

\[\begin{split}\begin{align*} & A \setminus (B \setminus C) \\ = & A \cap \mathscr{C} (B \cap \mathscr{C} C) = A \cap (\mathscr{C} B \cup C) \\ = & (A \cap \mathscr{C} B) \cup (A \cap C) \subset (A \setminus B) \cup C \end{align*}\end{split}\]

(4). 有

\[\begin{split}\begin{align*} & (A \setminus B) \setminus (C \setminus D) \\ = & (A \cap \mathscr{C} B) \cap \mathscr{C}(C \cap \mathscr{C} D) = (A \cap \mathscr{C} B) \cap (\mathscr{C} C \cup D) \\ = & (A \cap \mathscr{C} B \cap \mathscr{C} C) \cup (A \cap \mathscr{C} B \cap D) = ((A \cap \mathscr{C} B) \setminus C) \cup ((D \cap A) \setminus B) \\ \subset & (A \setminus C) \cup (D \setminus B) \end{align*}\end{split}\]

(5). 等式的左边化为集合交、并的形式为

(1)\[\begin{split}\begin{align*} & (A \setminus B) \cup C \\ = & (A \cap \mathscr{C} B) \cup C = (A \cup C) \cap (\mathscr{C} B \cup C) \\ = & (A \cap (\mathscr{C} B \cup C)) \cup (C \cap (\mathscr{C} B \cup C)) \\ = & (A \cap (\mathscr{C} B \cup C)) \cup C \end{align*}\end{split}\]

等式的右边化为集合交、并的形式为

(2)\[A \cap \mathscr{C} (B \cap \mathscr{C} C) = A \cap (\mathscr{C} B \cup C)\]

比较式 (1) 与式 (2), 若要使等式成立, 必须有 \((A \cap (\mathscr{C} B \cup C)) \cup C = A \cap (\mathscr{C} B \cup C)\), 这要求 \(C \subset A \cap (\mathscr{C} B \cup C)\). 因为 \(C \subset \mathscr{C} B \cup C\) 是显然的, 故上式等价于 \(C \subset A\).

(6). 不成立. 因为集合 \(A\) 是左边 \(A \cup (B \setminus C)\) 的一个子集, 但如果 \(A \cap C \neq \emptyset\) 的话, 集合 \(A\) 不是右边 \((A \cup B) \setminus C\) 的子集.

3. 设给出集 \(E\) 与任一集族 \(A_{\alpha}, \alpha \in I\), 问关系式

   \[E \cup \bigcap_{\alpha \in I} A_{\alpha} = \bigcap_{\alpha \in I} (E \cup A_{\alpha})\]

是否恒成立?

证明

首先证明左边包含于右边. 任取 \(x \in E \cup \bigcap\limits_{\alpha \in I} A_{\alpha}\), 若 \(x \in E\), 那么由于 \(E \subset E \cup A_{\alpha}, \forall ~ \alpha \in I\), 从而有 \(x \in E \cup A_{\alpha}, \forall ~ \alpha \in I\), 那么有 \(x \in \bigcap\limits_{\alpha \in I} (E \cup A_{\alpha})\). 若 \(x \not\in E\), 那么 \(x \in \bigcap\limits_{\alpha \in I} A_{\alpha}\), 从而 \(x \in E \cup A_{\alpha}, \forall ~ \alpha \in I\), 所以 \(x \in \bigcap\limits_{\alpha \in I} (E \cup A_{\alpha})\).

再证明右边包含于左边. 任取 \(x \in \bigcap\limits_{\alpha \in I} (E \cup A_{\alpha})\), 那么 \(x \in E \cup A_{\alpha}, \forall ~ \alpha \in I\). 即对任意 \(\alpha \in I\), 或有 \(x \in E\), 或有 \(x \in A_{\alpha}\). 若 \(x \in E\), 那么 \(x \in E \cup \bigcap\limits_{\alpha \in I} A_{\alpha}\). 若 \(x \not\in E\), 那么就必须有 \(x \in A_{\alpha}, \forall ~ \alpha \in I\), 从而 \(x \in \bigcap\limits_{\alpha \in I} A_{\alpha}\), 这种情况下同样有 \(x \in E \cup \bigcap\limits_{\alpha \in I} A_{\alpha}\).

5. 定义集 \(A, B\) 的 对称差 为 \(A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\). 试证对任意集 \(A, B, C\) 有

   (1). \(A = B\) 的充分必要条件为 \(A \triangle B = \emptyset\).

   (2). \(A \cup B = (A \cap B) \cup (A \triangle B)\).

   (3). \(A \triangle B \subset (A \triangle C) \cup (C \triangle B)\).

证明

(1). \(A = B \Longleftrightarrow A \setminus B = \emptyset \land B \setminus A = \emptyset \Longleftrightarrow A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \emptyset\).

(2). 容易知道, 对任意两个集合 \(A, B\), 总有 \(A \cup (B \setminus A) = A \cup B\), 于是有

\[\begin{split}\begin{align*} & (A \cap B) \cup (A \triangle B) \\ = & (A \cap B) \cup \Bigl((A \setminus B) \cup (B \setminus A)\Bigr) \\ = & \Bigl(\bigl(A \cup (B \setminus A)\bigr) \cup (A \setminus B)\Bigr) \cap \Bigl(\bigl(B \cup (A \setminus B)\bigr) \cup (B \setminus A)\Bigr) \\ = & \Bigl((A \cup B) \cup (A \setminus B)\Bigr) \cap \Bigl((B \cup A) \cup (B \setminus A)\Bigr) \\ = & (A \cup B) \cap (B \cup A) \\ = & A \cup B \end{align*}\end{split}\]

(3). 任取 \(x \in A \triangle B\), 要么有 \(x \in A \setminus (A \cap B)\), 要么有 \(x \in B \setminus (A \cap B)\), 这两种情况有且只有一种成立. 以下对 \(x\) 是否属于集合 \(C\) 分两种情况讨论.

情况1. 若 \(x \not\in C\), 那么

情况1.1. 若 \(x \in A \setminus (A \cap B)\), 那么此时有 \((x \in A) \land (x \not\in C)\), 即有 \(x \in A \setminus C \subset A \triangle C \subset (A \triangle C) \cup (C \triangle B)\).

情况1.2. 若 \(x \in B \setminus (A \cap B)\), 那么此时有 \((x \in B) \land (x \not\in C)\), 即有 \(x \in B \setminus C \subset B \triangle C \subset (A \triangle C) \cup (C \triangle B)\).

情况2. 若 \(x \in C\), 那么

情况2.1. 若 \(x \in A \setminus (A \cap B)\), 那么此时有 \((x \not \in B) \land (x \in C)\), 即有 \(x \in C \setminus B \subset C \triangle B \subset (A \triangle C) \cup (C \triangle B)\).

情况2.2. 若 \(x \in B \setminus (A \cap B)\), 那么此时有 \((x \not \in A) \land (x \in C)\), 即有 \(x \in C \setminus A \subset C \triangle A \subset (A \triangle C) \cup (C \triangle B)\).

综上所述, 对任意 \(x \in A \triangle B\), 总有 \(x \in (A \triangle C) \cup (C \triangle B)\), 从而有 \(A \triangle B \subset (A \triangle C) \cup (C \triangle B)\).

6. 设 \(E_n = \left\{ m / n : m \in \mathbb{Z} \right\}, n \in \mathbb{N}\), 证明 \(\varliminf\limits_{n} E_n = \mathbb{Z}\), \(\varlimsup\limits_{n} E_n = \mathbb{Q}\). 这里的 上限集、下限集 分别定义为 \(\varliminf\limits_{n} E_n = \bigcup\limits\limits_{k=1}^{\infty} \bigcap\limits_{n=k}^{\infty} E_n\), 以及 \(\varlimsup\limits_{n} E_n = \bigcap\limits\limits_{k=1}^{\infty} \bigcup\limits_{n=k}^{\infty} E_n\).

证明

对任意 \(n \in \mathbb{N}\), 考虑 \(m \in n \mathbb{Z}\), 那么总有 \(\mathbb{Z} = \left\{ m / n : m \in n\mathbb{Z} \right\} \subset E_n\), 从而有 \(\mathbb{Z} \subset \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} E_n\), 于是有 \(\mathbb{Z} \subset \bigcup\limits\limits_{k=1}^{\infty} \bigcap\limits_{n=k}^{\infty} E_n = \varliminf\limits_{n} E_n\). 另一方面, 任取 \(x \in \varliminf\limits_{n} E_n = \bigcup\limits\limits_{k=1}^{\infty} \bigcap\limits_{n=k}^{\infty} E_n\), 那么存在 \(k \in \mathbb{N}\), 使得 \(x \in \bigcap\limits_{n=k}^{\infty} E_n\). 将 \(x = \dfrac{p}{q}, q > 0\) 写为既约分数的形式, 那么 \(\forall ~ n \geqslant k, n \in \mathbb{N}\), 都有 \(x = \dfrac{p}{q} \in E_n = \left\{ m / n : m \in \mathbb{Z} \right\}\). 假设 \(q \neq 1\), 那么取 \(n \in \mathbb{N}\), 使得 \(n > k\) 且不被 \(q\) 的某个素因子 \(p_0 > 1\) 整除. 那么由 \(\dfrac{p}{q} = \dfrac{m}{n}\), 即 \(p n = q m\), 两边不可能有相同的素因子组 (例如 \(p_0\) 不是左边的素因子, 但是是右边的素因子). 所以 \(q \neq 1\) 的假设不成立, 也就是说 \(\varliminf\limits_{n} E_n\) 中任何元素写成既约分数的形式时, 分母都是1, 也就是说 \(\varliminf\limits_{n} E_n \subset \mathbb{Z}\). 综上所述, 有 \(\varliminf\limits_{n} E_n = \mathbb{Z}\).

由于对任意 \(n \in \mathbb{N}\), 都有 \(E_n \subset \mathbb{Q}\), 于是 \(\bigcup\limits_{k=n}^{\infty} E_n \subset \mathbb{Q}\) 对任意 \(k \in \mathbb{N}\) 成立, 进而有 \(\varlimsup\limits_{n} E_n = \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} \bigcup\limits_{n=k}^{\infty} E_n \subset \mathbb{Q}\). 反过来, 任取 \(x = \dfrac{p}{q} \in \mathbb{Q}, q > 0\), 并设其为既约分数. 令 \(n = k \cdot q\), 那么有 \(x = \dfrac{p}{q} = \dfrac{kp}{kq} = \dfrac{kp}{n} \in E_n = \left\{ m / n : m \in \mathbb{Z} \right\}\), 这就证明了 \(x \in \bigcup\limits_{k=n}^{\infty} E_n\) 对任意 \(k \in \mathbb{N}\) 成立. 那么有 \(\mathbb{Q} \subset \varlimsup\limits_{n} E_n\). 综上所述, 有 \(\varlimsup\limits_{n} E_n = \mathbb{Q}\).

备注

我们通常可将 \(E_n\) 简写为 \(\dfrac{1}{n} \mathbb{Z}\), 那么这题的结论可以用数学符号更简洁地表达为

\[\varliminf\limits_{n} \dfrac{1}{n} \mathbb{Z} = \mathbb{Z}, \quad \varlimsup\limits_{n} \dfrac{1}{n} \mathbb{Z} = \mathbb{Q}.\]