§4 开集的构造

22. 设 \(F_1, F_2\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的非空闭集, 且 \(F_1 \cap F_2 = \emptyset\). 试证存在两个开集 \(G_1, G_2\), 使 \(G_1 \cap G_2 = \emptyset\), 而 \(G_1 \supset F_1, G_2 \supset F_2\).

证明

由于 \(F_1, F_2\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的非空闭集, 且 \(F_1 \cap F_2 = \emptyset\), 所以 \(\rho(F_1, F_2) > 0\). 取 \(\delta = \dfrac{\rho(F_1, F_2)}{3}\), 并令

\[G_i = \bigcup_{x \in F_i} U(x, \delta), \quad i = 1, 2.\]

那么 \(G_1, G_2\) 都是开集, 且 \(G_1 \cap G_2 = \emptyset\). 又由于 \(\forall ~ x \in F_1\), 有 \(U(x, \delta) \subset G_1\), 所以 \(F_1 \subset G_1\). 同理可证 \(F_2 \subset G_2\).

23. 设 \(F_1, F_2\) 为 \(\mathbb{R}^n\) 中的闭集, 其中之一有界, 试证存在两点 \(a_1 \in F_1, a_2 \in F_2\) 使 \(\rho(a_1, a_2) = \rho(F_1, F_2)\).

证明

首先证明, 对任意的 \(\mathbb{R}^n\) 的子集 \(F\), 函数 \(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}: \ x \mapsto \rho(x, F)\) 是一致连续的:

任取 \(a, b \in \mathbb{R}^n\), 由于 \(\rho (a, F) := \inf\limits_{x \in F} \rho(a, x)\), 那么 \(\forall ~ \varepsilon > 0\), 存在 \(x_0 \in F\), 使得 \(\rho(a, x_0) < \rho(a, F) + \varepsilon\), 于是有

\[\rho(b, F) \leqslant \rho(b, x_0) \leqslant \rho(b, a) + \rho(a, x_0) < \rho(b, a) + \rho(a, F) + \varepsilon.\]

由于 \(\varepsilon\) 是任意的, 所以有 \(\rho(b, F) \leqslant \rho(b, a) + \rho(a, F)\). 同理可证 \(\rho(a, F) \leqslant \rho(a, b) + \rho(b, F)\). 所以有 \(\lvert \rho(a, F) - \rho(b, F) \rvert \leqslant \rho(a, b)\). 那么对于任意取定的 \(\varepsilon > 0\), 取 \(\delta = \varepsilon\), 只要 \(\rho(a, b) < \delta\), 就有 \(\lvert \rho(a, F) - \rho(b, F) \rvert < \varepsilon\). 这就证明了函数 \(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}: \ x \mapsto \rho(x, F)\) 是一致连续的.

其次, 我们证明, 对任意点 \(a \in \mathbb{R}^n\) 以及任意的非空闭集 \(F \subset \mathbb{R}^n\), 总存在 \(x_0 \in F\), 使得 \(\rho(a, F) = \rho(a, x_0)\):

考虑闭球 \(\overline{B} := \overline{B}(a, \delta)\) 使得 \(\overline{B} \cap F \neq \emptyset\), 那么 \(\overline{B} \cap F\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中有界闭集, 且有 \(\rho(a, \overline{B} \cap F) = \rho(a, F)\). 由于函数 \(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}: \ x \mapsto \rho(x, a)\) 连续函数 (实际上进一步是初等函数), 所以它在有界闭集 \(\overline{B} \cap F\) 上 取到最小值, 即存在 \(x_0 \in \overline{B} \cap F\), 使得 \(\rho(a, x_0) = \rho(a, \overline{B} \cap F) = \rho(a, F)\).

有了以上两个结论, 我们就可以证明题设结论. 不妨设 \(F_1\) 有界, 考虑函数 \(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}: \ x \mapsto \rho(x, F_2)\). 由之前第一点的结论, 它是一致连续的, 从而在有界闭集 \(F_1\) 上取到最小值, 即存在 \(a_1 \in F_1\), 使得 \(\rho(a_1, F_2) = \rho(F_1, F_2)\). 又由于 \(F_2\) 是非空闭集, 根据第二点结论, 存在 \(a_2 \in F_2\), 使得 \(\rho(a_1, F_2) = \rho(a_1, a_2)\). 于是有 \(\rho(a_1, a_2) = \rho(F_1, F_2)\).

24. 设 \(G_1, G_2\) 为 \(\mathbb{R}^1\) 中的开集, 且 \(G_1 \subset G_2\). 试证 \(G_1\) 的每个构成区间含于 \(G_2\) 的某个构成区间之中.

证明

任取 \(G_1\) 的一个构成区间 \(I_1 = (a_1, b_1)\), 那么有 \(I_1 \subset G_1 \subset G_2\). 任取 \(x_0 \in I_1\), 令它包含于 \(G_2\) 中的构成区间 \(I_2 = (a_2, b_2)\). 那么由构成区间的构造有

\[a_2 = \inf \{ x : \ (x, x_0) \subset G_2 \}, \quad b_2 = \sup \{ x : \ (x_0, x) \subset G_2 \}.\]

又知道 \((a_1, x_0) \subset I_1 \subset G_1 \subset G_2\), 所以 \(a_1 \in \{ x : \ (x, x_0) \subset G_2 \}\), 故有 \(a_1 \geqslant a_2\). 同理可证 \(b_1 \leqslant b_2\). 于是有 \(I_1 \subset I_2\).

25. 试证 \(\mathbb{R}^n\) 中每个闭集可表为可列个开集的交, 每个开集可表为可列个闭集的并.

证明

由 De Morgan 法则, 我们只要证明前一个结论即可.

任取 \(\mathbb{R}^n\) 中的闭集 \(F\), 对任意的 \(n \in \mathbb{N}\), 令

\[G_n = \bigcup_{x \in F} U \left( x, \dfrac{1}{n} \right), \quad U \left( x, \dfrac{1}{n} \right) := \left\{ y \in \mathbb{R}^n : \ \lvert x - y \rvert < \dfrac{1}{n} \right\}.\]

那么 \(G_n\) 是开集, 且 \(F \subset G_n\). 可以证明 \(F = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} G_n\). 证明如下:

只要证明 \(F \supset \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} G_n\) 即可. 任取 \(x \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} G_n\), 那么 \(x \in G_n, \forall ~ n \in \mathbb{N}\), 从而存在 \(x_n \in F\), 使得 \(x \in U \left( x_n, \dfrac{1}{n} \right)\), 即有 \(\lvert x - x_n \rvert < \dfrac{1}{n}\). 于是 \(\{ x_n \}\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的 Cauchy 列, 且收敛到 \(x\). 由于 \(F\) 是闭集, 所以 \(x \in F\). 于是有 \(\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} G_n \subset F\).

26. 设 \(E\) 为康托三分集的补集中构成区间的中点所成的集, 求 \(E'\).

解

根据康托三分集的构造过程, 有如下的区间列:

(1)\[\begin{split}\begin{align*} F_1 & = F_{11} \cup F_{12} = \left[ 0, \dfrac{1}{3} \right] \cup \left[ \dfrac{2}{3}, 1 \right], \\ I_1 & = I_{11} = \left( \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3} \right), \\ F_2 & = F_{21} \cup F_{22} \cup F_{23} \cup F_{24} = \left[ 0, \dfrac{1}{9} \right] \cup \left[ \dfrac{2}{9}, \dfrac{1}{3} \right] \cup \left[ \dfrac{2}{3}, \dfrac{7}{9} \right] \cup \left[ \dfrac{8}{9}, 1 \right], \\ I_2 & = I_{21} \cup I_{22} = \left( \dfrac{1}{9}, \dfrac{2}{9} \right) \cup \left( \dfrac{7}{9}, \dfrac{8}{9} \right), \\ & \vdots \\ F_n & = F_{n1} \cup F_{n2} \cup \cdots \cup F_{n2^{n}}, \\ I_n & = I_{n1} \cup I_{n2} \cup \cdots \cup I_{n2^{n-1}}, \\ & \vdots \\ G_0 & = \bigcup_{n=1}^{\infty} I_n, \\ P_0 & = \mathscr{C} G_0 = \bigcap_{n=1}^{\infty} F_n \longleftarrow \text{(康托三分集)}. \\ \end{align*}\end{split}\]

康托三分集的补集即为 \(G_0\), 其构成区间为 \(I_n\), 集合 \(E\) 即由这些构成区间的中点所成的集.

任取康托三分集中的点 \(x \in P_0 = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} F_n\), 那么 \(x \in F_n, \forall ~ n \in \mathbb{N}\) 成立. 对任意 \(\varepsilon > 0\), 取 \(n \in \mathbb{N}\), 使得 \(\dfrac{1}{3^{n}} < \varepsilon\), 那么 \(x \in F_n\), 从而存在 \(k \in \{ 1, 2, \dots, 2^n \}\), 使得 \(x \in F_{nk}\). 闭区间 \(F_{nk}\) 的长度为 \(\dfrac{1}{3^{n}}\), 所以 \(\forall ~ y \in F_{nk}\), 都有 \(\lvert x - y \rvert \leqslant \varepsilon\). 同时, 闭区间 \(F_{nk}\) 包含了 \(I_{n+1}\) 中的某个开区间 \(I_{n+1, k}, 1 \leqslant k \leqslant 2^{n}\) (即第 \(n+1\) 步从闭区间 \(F_{nk}\) 中去除的中间 \(\dfrac{1}{3}\) 开区间), 进而包含了 \(I_{n+1, k}\) 的中点, 记其为 \(y_0\), 那么有 \(0 < \lvert x - y_0 \rvert < \varepsilon\), 即 \(y_0 \in \mathring{U}(x, \varepsilon) \cap E\). 这就证明了 \(x \in P_0\) 是 \(E\) 的聚点. 所以有 \(E' \supset P_0\).

反过来, 任取 \(x \not\in P_0\), 即有 \(x \in G_0 = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} I_n\), 那么存在 \(n \in \mathbb{N}\), 使得 \(x \in I_n\), 从而存在 \(k \in \{ 1, 2, \dots, 2^{n-1} \}\), 使得 \(x \in I_{nk}\). 如果 \(x\) 是 \(I_{nk}\) 的中点, 那么取 \(\varepsilon = \dfrac{1}{3^{n+1}}\), 即有 \(\mathring{U}(x, \varepsilon) \subset I_{nk} \setminus \{ x \}\), 从而 \(\mathring{U}(x, \varepsilon) \cap E = \emptyset\), 这说明了 \(x\) 不是 \(E\) 的聚点. 如果 \(x\) 不是 \(I_{nk}\) 的中点, 令 \(y_0\) 为 \(I_{nk}\) 的中点, 那么取 \(\varepsilon = \min \left\{ \dfrac{1}{3^{n+1}}, \dfrac{1}{2} \lvert x - y_0 \rvert \right\}\), 这样, 去心邻域 \(\mathring{U}(x, \varepsilon)\) 既不包含 \(y_0\), 也不会与 \(F_n\) 中含有的与 \(I_{nk}\) 相邻的任何一个闭区间的中间 \(\dfrac{1}{3}\) 开区间相交, 这样就有 \(\mathring{U}(x, \varepsilon) \cap E = \emptyset\), 也说明了 \(x\) 不是 \(E\) 的聚点. 于是我们就证明了 \(\mathscr{C} P_0 \cap E' = \emptyset\), 从而有 \(E' \subset P_0\).

综上所述, 有 \(E' = P_0\).