§3 一维开集、闭集及其性质

16. 证明任何点集的内点全体是开集.

证明

令 \(\mathring{E} = \{ x \in E : \ x \text{ 为 } E \text{ 的内点} \}\) 表示点集 \(E\) 的内点全体. 任取 \(x \in \mathring{E}\), 由于 \(x\) 为 \(E\) 的内点, 所以存在 \(x\) 的邻域 \(U \subset E\). 任取 \(y \in U\), 那么 \(U\) 也是 \(y\) 的邻域, 故 \(y\) 也是 \(E\) 的内点, 从而有 \(y \in \mathring{E}\), 于是有 \(U \subset \mathring{E}\), 这就证明了 \(x\) 是 \(\mathring{E}\) 的内点. 由于 \(x\) 是任意取自 \(\mathring{E}\) 的, 所以 \(\mathring{E}\) 是开集.

17. 设 \(f(x)\) 是定义在 \(\mathbb{R}^1\) 上只取整数值的函数, 试证它的连续点集为开集, 不连续点集为闭集.

证明

任取 \(f\) 的连续点 \(x_0\), 那么对 \(\varepsilon = \dfrac{1}{3}\), 存在 \(\delta > 0\), 使得 \(\forall ~ x \in U(x_0, \delta)\), 都有 \(\lvert f(x) - f(x_0) \rvert < \dfrac{1}{3}\). 由于 \(f\) 只取整数值, 此时必须有 \(f(x) = f(x_0)\). 考察集合 \(U(x_0, \delta / 3)\), 任取 \(\tilde{x} \in U(x_0, \delta / 3)\), 有 \(U(\tilde{x}, \delta / 3) \subset U(x_0, \delta)\), 从而有 \(f(\tilde{x}) = f(x_0)\), 故 \(\tilde{x}\) 也是 \(f\) 的连续点. 这就证明了集合 \(U(x_0, \delta / 3)\) 包含于 \(f\) 的连续点集中, 从而 \(x_0\) 是其内点. 由于 \(x_0\) 是任意取自 \(f\) 的连续点集的, 所以 \(f\) 的连续点集是开集.

\(f\) 的连续点集的补集为 \(f\) 的不连续点集, 我们已经证明了前者是开集, 所以后者是闭集.

18. 设点集列 \(\{ E_k \}\) 是有限区间 \([a, b]\) 中的渐缩列: \(E_1 \supset E_2 \supset \cdots \supset E_k \supset \cdots\), 且每个 \(E_k\) 均为非空闭集, 试证交集 \(\bigcap\limits_{k=1}^{\infty} E_k\) 非空.

证明

用反证法证明. 取基本集为 \(\mathbb{R}\). 假设交集 \(\bigcap\limits_{k=1}^{\infty} E_k = \emptyset\), 那么考虑集族 \(\{ \mathscr{C} E_k \}\), 这是闭区间 \([a, b]\) 的开覆盖, 由于 \([a, b]\) 是紧集, 所以存在有限子覆盖 \(\{ \mathscr{C} E_{k_i} \}_{i=1}^{N}\), 即 \([a, b] \subset \bigcup\limits_{i=1}^{N} (\mathscr{C} E_{k_i}) = \mathscr{C} \left( \bigcap\limits_{i=1}^{N} E_{k_i} \right)\), 此时必须有 \(\bigcap\limits_{i=1}^{N} E_{k_i} = \emptyset\), 否则其作为 \([a, b]\) 的子集非空, 就不可能有 \([a, b] \subset \mathscr{C} \left( \bigcap\limits_{i=1}^{N} E_{k_i} \right)\) 成立. 于是有

\[E_{k_N} = \bigcap_{i=1}^{N} E_{k_i} = \emptyset,\]

这与题设矛盾. 所以交集 \(\bigcap\limits_{k=1}^{\infty} E_k\) 非空.

19. 设点集列 \(\{ E_k \}\) 如 上题, \(f\) 为 \([a, b]\) 上连续函数, 证明 \(f \left( \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} E_k \right) = \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} f(E_k)\).

证明

任取 \(y \in f \left( \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} E_k \right)\), 那么存在 \(x \in \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} E_k\), 使得 \(y = f(x)\). 由于 \(x \in \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} E_k\), 所以 \(x \in E_k, \forall ~ k \in \mathbb{N}\), 这说明了 \(y = f(x) \in f(E_k), \forall ~ k \in \mathbb{N}\), 从而有 \(y \in \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} f(E_k)\). 这样, 我们就证明了 \(f \left( \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} E_k \right) \subset \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} f(E_k)\).

反过来, 任取 \(y \in \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} f(E_k)\), 那么 \(y \in f(E_k), \forall ~ k \in \mathbb{N}\), 于是存在 \(x_k \in E_k\), 使得 \(y = f(x_k)\). 由于 \(\{ E_k \}\) 是区间 \([a, b]\) 中的渐缩列, 所以 \(\{ x_k \}\) 是有界数列, 从而存在收敛子列 \(\{ x_{k_i} \}\), 令 \(\lim\limits_{i \to \infty} x_{k_i} = x_0 \in [a, b]\). 由于 \(f\) 在 \([a, b]\) 上连续, 所以有 \(\lim\limits_{i \to \infty} f(x_{k_i}) = f(x_0)\), 于是有 \(y = f(x_0)\). 可以断言 \(x_0 \in \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} E_k\), 如若不然, 那么存在 \(k_0 \in \mathbb{N}\), 使得 \(x_0 \not\in E_{k_0}\), 那么 \(x_0 \in \mathscr{C} E_{k_0}\). 而 \(\mathscr{C} E_{k_0}\) 是一个开集, 所以存在 \(\varepsilon > 0\), 使得 \(U(x_0, \varepsilon) \subset \mathscr{C} E_{k_0}\), 那么对任意 \(k \geqslant k_0\), 都有 \(U(x_0, \varepsilon) \subset \mathscr{C} E_{k_0} \subset \mathscr{C} E_k\), 于是有 \(\lvert x_k - x_0 \rvert >= \varepsilon\), 这与 \(\{ x_k \}\) 收敛到 \(x_0\) 矛盾. 所以有 \(x_0 \in \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} E_k\). 于是 \(y = f(x_0) \in f \left( \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} E_k \right)\). 这样, 我们就证明了 \(\bigcap\limits_{k=1}^{\infty} f(E_k) \subset f \left( \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} E_k \right)\).

综上所述, 有 \(f \left( \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} E_k \right) = \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} f(E_k)\).

20. 设 \(f(x)\) 是定义在 \([0, 1]\) 上的有限函数, 已知它在每个无理点连续. 问它在无理点集上是否有界, 在 \([0, 1]\) 上是否一致连续?

解

这样的 \(f\) 在无理点集上不一定有界, 在 \([0, 1]\) 上也不一定一致连续. 反例如下: 定义 \(f\) 如下:

\[\begin{split}f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0, \\ \frac{1}{x^{\alpha}}, & x \in (0, 1]. \end{cases}\end{split}\]

这里的 \(\alpha > 0\). 那么 \(f\) 是定义在 \([0, 1]\) 上的有限函数 (在每个点都取有限值), 在每个无理点连续. 但是 \(f\) 在无理点集上不是有界的, 在 \([0, 1]\) 上也不是一致连续的.

备注

这里的反例在数学分析中经常被作为黎曼不可积, 但反常积分收敛的例子.

21. 设 \(f(x)\) 是 \(\mathbb{R}\) 上实函数, 映任一开集为开集, 问它是否连续? 又连续映射是否映开集为开集?

解

\(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 的开映射 (将任一开集映为开集) 不一定连续. 反例如下: 定义 \(\mathbb{R}\) 上的一个等价关系为

\[x \sim y \Longleftrightarrow x - y \in \mathbb{Q}, \quad x, y \in \mathbb{R},\]

并令 \(\mathcal{E} = \mathbb{R} / \sim\) 表示商集, 其中的元素记为

(1)\[[x] = \{ y \in \mathbb{R} : \ y \sim x \} = x + \mathbb{Q}\]

\(x\) 为代表元. 可以验证, 集合 \(\mathcal{E}\) 与 \(\mathbb{R}\) 对等, 那么可以做双射 \(f: \mathcal{E} \to \mathbb{R}\). 定义

\[g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto f([x]).\]

任取 \(\mathbb{R}\) 中开集 \(U\). 对值域 \(\mathbb{R}\) 中的任意元素 \(y\), 令它在商集 \(\mathcal{E}\) 中的双射 \(f\) 下的原像为 \(C \in \mathcal{E}\), 即 \(y = f(C)\). 由于每一个 \(C\) 的形式都如式 (1) 所示, 所以满足 \(g(x) = y\) 的 \(x\) 在 \(\mathbb{R}\) 中稠密 (包含 \(C\) 作为陪集的每一个元素), 故与开集 \(U\) 相交非空, 从而有 \(y \in g(U)\). 由于 \(y\) 是任意取自 \(\mathbb{R}\) 的元素, 所以 \(g(U) = \mathbb{R}\), 这就证明了 \(g\) 将任一开集映为开集 \(\mathbb{R}\), 同时这也说明了 \(g\) 在任何一点都不连续.

以上函数的构造依赖于选择公理. 类似的构造方法之后还会用到, 例如构造不可测集.

连续映射不一定将开集映为开集. 反例为 \(f(x) = x^2\), 它将开区间 \((-1, 1)\) 映左闭右开区间 \([0, 1)\).

备注

开映射不连续的其他例子 (来自作业):

和教材一致, 记 Cantor 三分集为 \(P_0\), 其补集 (在区间 \([0, 1]\) 内的补集) 记为 \(G_0\), 其构造过程产生的区间记号如下:

(2)\[\begin{split}\begin{align*} F_1 & = F_{11} \cup F_{12} = \left[ 0, \dfrac{1}{3} \right] \cup \left[ \dfrac{2}{3}, 1 \right], \\ I_1 & = I_{11} = \left( \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3} \right), \\ F_2 & = F_{21} \cup F_{22} \cup F_{23} \cup F_{24} = \left[ 0, \dfrac{1}{9} \right] \cup \left[ \dfrac{2}{9}, \dfrac{1}{3} \right] \cup \left[ \dfrac{2}{3}, \dfrac{7}{9} \right] \cup \left[ \dfrac{8}{9}, 1 \right], \\ I_2 & = I_{21} \cup I_{22} = \left( \dfrac{1}{9}, \dfrac{2}{9} \right) \cup \left( \dfrac{7}{9}, \dfrac{8}{9} \right), \\ & \vdots \\ F_n & = F_{n1} \cup F_{n2} \cup \cdots \cup F_{n2^{n}}, \\ I_n & = I_{n1} \cup I_{n2} \cup \cdots \cup I_{n2^{n-1}}, \\ & \vdots \\ G_0 & = \bigcup_{n=1}^{\infty} I_n, \\ P_0 & = \mathscr{C} G_0 = \bigcap_{n=1}^{\infty} F_n \longleftarrow \text{(Cantor 三分集)}. \\ \end{align*}\end{split}\]

对于任意 \(m \in \mathbb{Z}^*\), 考虑集合

\[\begin{split}G_m & := m + G_0 = \left\{ m + x : x \in G_0 \right\}, \\ G & := \bigcup_{m \in \mathbb{Z}} G_m, \\ P & := \mathscr{C} G = \mathbb{R} \setminus G.\end{split}\]

容易看出,

\[I_{nk}^{(m)} := \left\{ m + x : x \in I_{nk} \right\}, m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, k = 1, 2, \cdots, 2^{n-1},\]

两两不相交, 是 \(G\) 的构成区间. 将这些区间重新排列, 得到新的开区间列 \(\{ J_t = (\alpha_t, \beta_t) \}_{t \in \mathbb{N}}\). 定义映射 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 如下:

(3)\[\begin{split}f(x) = \begin{cases} \tan \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{\beta_t - x}{\beta_t - \alpha_t} \right) \pi, & x \in J_t, \\ 0, & x \not\in G. \end{cases}\end{split}\]

那么 \(f\) 在集合 \(P\) 任何一点 \(x\) 都不连续: 不妨设 \(x \in P_0\), 对任意的 \(\delta > 0\), 取 \(n_0 \in \mathbb{N}\) 使得 \(2 \cdot \left(\dfrac{1}{3} \right)^{n_0} < \delta\) 成立. 由于 \(x \in P_0 = \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} F_n\), 所以 \(x \in F_{n_0}\), 那么存在 \(k, 1 \leqslant k \leqslant 2^{n_0}\), 使得 \(x \in F_{n_0k}\). 闭区间 \(F_{n_0k}\) 的长度为 \(\left(\dfrac{1}{3} \right)^{n_0}\), 所以 \(F_{n_0k} \subset U(x, \delta)\). 那么根据 Cantor 三分集的构造, 闭区间 \(F_{n_0k}\) 的中间 1/3 开区间, 记为 \(I\), 是 \(G\) 的构成区间, 同时包含于 \(U(x, \delta)\). 取 \(I\) 中的一点 \(y\), 使得 \(f(y) > 1\), 那么 \(\lvert f(y) - f(x) \rvert > 1\), 从而 \(f\) 在 \(x\) 处不连续.

任取 \(\mathbb{R}\) 中开集 \(U\), 若 \(U \cap P \neq \emptyset\), 那么从上面的证明过程可以看出 \(f(U) = \mathbb{R}\). 若 \(U \cap P = \emptyset\), 那么 \(U \subset G\). 令 \(U\) 的构成区间为 \(\{ U_s \}_{s \in S}\), 那么每个 \(U_s\) 都包含于某个 \(J_t\) 中 (见本章 第 24 题) . 由于

\[f \left( \bigcup_{s \in S} U_s \right) = \bigcup_{s \in S} f(U_s)\]

对一般的函数以及集合的并都是成立的, 而 \(f\) 在每个 \(J_t\) 上都是开映射, 所以 \(f(U) = f \left( \bigcup\limits_{s \in S} U_s \right) = \bigcup\limits_{s \in S} f(U_s)\) 是开集. 于是, 我们就证明了 \(f\) 是开映射.

需要注意的是, 将 \(f\) 的定义式 (3) 中的 \(\tan \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{\beta_t - x}{\beta_t - \alpha_t} \pi \right)\) 替换为任意的非平凡的开映射 (例如单调连续函数), 都可以得到开映射不连续的例子.