第 5 章 随堂习题#
证明 \(L^{\infty}(E)\) 是线性空间, 其中 \(E\) 是 \(\mathbb{R}\) 中的可测集,
\[L^{\infty}(E) := \left\{ f : E \to \mathbb{R} ~:~ f \text{ 在 } E \text{ 上可测且 } \exists M \geqslant 0, \text{ 使得 } |f(x)| \leqslant M \text{ 几乎处处成立} \right\}\]是 \(E\) 上的本性有界函数全体.
证明 Hölder 不等式对于 \(p = 1, q = \infty\) 的情形也成立, 即证明 对任意 \(f \in L^1(E), g \in L^{\infty}(E)\), 有
\[\| f g \|_1 \leqslant \| f \|_1 \| g \|_{\infty},\]其中
\[\begin{split}\| f \|_1 & := \int_E |f(x)| ~ \mathrm{d} m, \\ \| g \|_{\infty} & := \inf \left\{ M \geqslant 0 ~:~ |g(x)| \leqslant M \text{ 几乎处处成立} \right\} = \inf_{m e = 0} \sup_{x \in E \setminus e} |g(x)|.\end{split}\]