第 2 章 随堂习题

1. 设 \(F_1 \subset G_1, F_2 \subset G_2\), 证明 \((G_1 \cup G_2) \setminus (F_1 \cup F_2) \subset (G_1 \setminus F_1) \cup (G_2 \setminus F_2)\).

2. 设 \(\mathscr{E}\) 是集族, \(\mathscr{R}(\mathscr{E}), \mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})\) 分别表示由 \(\mathscr{E}\) 生成的环与 \(\sigma\)-环. 证明

   (1). \(\mathscr{R}(\mathscr{E})\) 中元素都包含于某个由 \(\mathscr{E}\) 中有限个元素组成的并;

   (2). \(\mathscr{R}_{\sigma}(\mathscr{E})\) 中元素都包含于某个由 \(\mathscr{E}\) 中可列多个元素组成的并.

3. 请举反例, 说明对于渐缩可测集列

   \[E_1 \supset E_2 \supset \cdots \supset E_n \supset \cdots,\]

   当没有“存在某个 \(k\) 使得 \(m E_k < \infty\)”这一条件时, 不一定有 \(m \left( \bigcap\limits_{n=1}^\infty E_n \right) = \lim\limits_{n \to \infty} m E_n\).

4. 设 \(\mathscr{E}\) 是基本集 \(X\) 的子集族, 定义

   \[\mathscr{S}(\mathscr{E}) = \{ E \subset X ~:~ E \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n, ~ A_n \in \mathscr{E} \},\]

   证明 \(\mathscr{S}(\mathscr{E})\) 构成一个 \(\sigma\)-环. 进一步证明, 若基本集 \(X \in \mathscr{S}(\mathscr{E})\), 则 \(\mathscr{S}(\mathscr{E})\) 等于 \(\mathscr{E}\) 的幂集 \(\mathscr{P}(X)\).